sin 和cos的展开式是怎么得来的？

Question

cosx=1-x^2/2+x^4/4!+……+(-1)^n*x^(2n)/(2n)!+……
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)!+……

就这个

大家稍微指导一下嘛 就像e^x可以用二项式展开lim n-> 无限大 (1+1/n)^xn得来

给点提示也好啊

Answer 1

有些符号这里打不出来，建议你参考一下高等数学。
有的《高等数学》推导太简单，但愿下面的推导你能看懂。
设sinx=a+bx+cxx+dxxx+exxxx+fxxxxx+……，求导（编号表示导数阶数）：
①cosx=b+2cx+3dxx+4exxx+5fxxxx+……，
②-sinx=2c+6dx+12exx+20fxxx+……，
③-cosx=6d+24ex+60fxx+……，
④sinx=24e+120fx+……，
⑤cosx=120f+……，
……
现在分别求a,b,c,d,e,f,……。
当x=0时，sin0=-sin0=0,cos0=1,由上边的式子知
a=0,b=1,c=0,d=-1/6,e=0,f=1/(5!)，……
把a,b,c,d,e,f,……代入sinx=a+bx+cxx+dxxx+exxxx+fxxxxx+……，便得展开式
sinx=x-xxx/(3!)+xxxxx/(5!)-……。
仿照sinx的展开式，cosx的展开式你自己试试吧？ 期待你的成功。

Answer 2

泰勒公式在x=0处的展开式（即麦克劳林公式）：
f'(0) f''(0) f'''(0) f(n)(0)
f(x)=f(0)+-------x + -------x² + -------x³ +......+ ---------x^n+ο（x^n） ①
1! 2! 3! n!
（ f(n)(0)是f(x) 在x=0处的n阶导数 ,下同；ο(x^n)是佩亚诺型余项，即关于x^n的高阶无穷小量）
设f(x)=sinx,由f(k)(x)=sin(x+(kπ/2))得f(2k)(0)=0,f(2k-1)(0)=(-1)^(k-1), k=1,2,3,...,n.
然后代到 ①就行了.
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我这是抄书的（ISBN:978-7-04-029566-5,第四版，P140），最好还是听前面两位的，查书去。

Answer 3

看高数的级数部分，里面有推导过程。