非齐次线性方程组：A为m·n矩阵，证明Ax=b有唯一解的充要条件是r(A)=r(A|b)=n

Question

如题所述

Answer 1

证明过程如下：

证明：设Ax=b有解

即b可以由A的列向量组线性表出

b为A的列向量组的线性组合

再由解唯一

Ax=b的导出组Ax=0只有零解

得知A列满秩

若有r(A)=n，则方程组有解且唯一

若r(A)=n-1，则方程组无解

若有r(A)=n，则方程组有解且唯一

若r(A)=n+1，则方程组无解

若有r(A)=m，则方程组有解

若还有m=n，则解唯一

若m＜n，则有无穷多解

若r(A)=m-1，则方程绀无解

扩展资料

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于

 

，即可写出含n-r个参数的通解。

Answer 2

证明：当r(A)=m时

则A是行满秩的

A多添任一列向量组成的增光矩阵还是行满秩的

即有r(A ei)=m

其中ei是单位阵的第i列

于是方程Ax＝ei有解bi

令X＝【b1 b2 ... bm】

则AX＝E

若AX=E有解

则m＝r(Em)=r(AX)<=r(A)<=m

于是r(A)=r(A|b)=n

扩展资料

解法：

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于

 

，即可写出含n-r个参数的通解。

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Answer 3

定理中有解的充分必要条件是r(A,b)=r(A)。因为r(A)=m=A的行数，而(A,b)只有m行，秩不可能大于m，所以r(A,b)=m=r(A)，从而方程组Ax=b有解。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！本回答被网友采纳