高一数学函数

Question

函数f(x)=㏒aX在区间[a,2a]上的最大值与最小值的差为1/2，求a？

Answer 1

若0<a<1,则logax单调递减，所以最大值为logaa，最小值为loga2a，所以有
logaa-loga2a=1/2，也即loga(1/2)=1/2，a^(1/2)=1/2，a=1/4，满足0<a<1的条件。

若a>1，则logax单调递增，所以最大值为loga2a，最小值为logaa，所以有
loga2a-logaa=1/2，也即loga2=1/2，a^(1/2)=2，a=4，满足a>1的条件。

所以a=1/4或4.

Answer 2

1、若0<a<1,则logax单调递减，所以最大值为logaa，最小值为loga2a，所以有
logaa-loga2a=1/2，也即loga(1/2)=1/2，a^(1/2)=1/2，a=1/4，满足0<a<1的条件。
2、若a>1，则logax单调递增，所以最大值为loga2a，最小值为logaa，所以有
loga2a-logaa=1/2，也即loga2=1/2，a^(1/2)=2，a=4，满足a>1的条件。

Answer 3

（1）若0<a<1，则f(x)在[a,2a]上单调减，最大值是loga(a)=1，最小值是loga(2a)=1+loga(2)，最大值与最小值的差是-loga(2)=1/2，解得a=1/4.
（2）若a>1，则f(x)在[a,2a]上单调增，最大值是loga(2a)=1+loga(2)，最小值是1。最大值与最小值的差是loga(2)=1/2，解得a=4.
综上，a为1/4或4.