若称量过程中，已知某个球不可能超重，则将它涂成白色。反之若不可能偏轻，则涂成黑色。
首先证明一个引理：
1. 若每个球的颜色都已知，则最多m次称量，可以挑出3^m个球中唯一的坏球。
引理1的证明：
m=1时，不妨设至少有2个球是白色。将这两个球称一次，若相等，则坏球是第三个。
否则，坏球是轻的那个（因为已知这两个球中没有超重的）。
m>1时，将全部球分成{A,B,C} 3份，每份各n=3^{m-1}个球，且使得A, B所包含的白球数目相等,
都为x个。则A, B所含黑球数也相等，都为y=n-x个。
称量A, B，若A=B，则坏球在C中，由归纳假设，得证。
否则，不妨设A<B，则A中所有球都不可能超重。
而已知A中的y个黑球都不可能偏轻，所以这y个黑球既不超重，也不偏轻，都是好球。
同样的B中的x个白球也都是好球。
将这y+x个好球拿走，坏球只能在剩下的x+y=n=3^{m-1}个球中，由归纳假设，得证。
引理1证毕。
令N=N(m)=(3^m-1)/2, m>1。有：
2. 若额外有 3^{m-1} 个好球，则最多称 m 次，可找出 N+1 个(颜色未知)球中唯一的坏球。
m=2时, N+1=5。读者可自己验证设计方案，验证引理2的结论（需要稍微动动脑子）。
m>2时，N=3k+1，其中k=N(m-1)=(3^{m-1}-1)/2。
令x=3^{m-1}, y=k+1, 则x+y=N+1。将N+1个球分成A, B两组，
|A|=x, |B|=y，取x个好球C，比较A, C。
若A=C，坏球在B中，由归纳假设，得证。
否则，坏球在A中，不妨设A<C，A中所有球全涂白，由引理1，得证。
引理2证毕。
3. 最多称 m 次，可找出 N 个球中唯一的坏球。
因N=3k+1，可将这N个球分作{A,B,C,1}四份，
|A|=|B|=|C|=k。
称量 A, B。若A=B，则坏球在剩下的k+1个球C+1中，且A, B的所有2k个球都是好球，
由引理2，得证。
否则，不妨设A<B，则A中所有球都涂白，B中所有球都涂黑。
将A,B的球合在一起，再添一个好球，不妨将这好球涂白。一共有
2k+1=3^{m-1}个球，由引理1，得证。
完毕。
追问最后一步，3^{m-1}个球，不能用引理1，因为不知道劣质球是轻还是重。请重新考虑这个情况。
追答引理1不需要知道劣球是轻是重。
追问实在抱歉，读您的证明的时候疏忽了。你的解答完全正确！
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