为什么矩阵行秩等于列秩

Question

如题所述

Answer 1

首先要知道：
矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩，所以矩阵行满秩就是说：“矩阵的行秩=矩阵的行数”。
又因为行秩是等于列秩的，所以要列不满秩，只能构造一个列数比行数大的矩阵。
1
0
0
0
1
0
这个矩阵2行3列，行秩=列秩=矩阵的秩=2，当然是行满秩，列不满秩。
如要构造一个行满秩但不是列满秩的矩阵，显然这个矩阵的秩等于行数（行满秩）。
2，已知矩阵的秩无法大于行数or列数，并且根据要求，这个矩阵的秩不等于列数（否则列满秩），因此矩阵的秩只能小于列数。
比如这个矩阵
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
这个矩阵的秩是3，行数是3，列数是4，列数4大于秩3，因此这个构造的矩阵是我们所要构造的矩阵。

Answer 2

从同调代数的观点看这个问题其实是显然的。考虑一个短恰当序列
,其中我们关心的映射是
。取对偶函子后我们有一个新的恰当序列
。这个序列告诉我们
的转置
是个单射，因此其像就是
。而
和
永远是同构的（假设所考虑的线性空间是有限维的），所以
。
所以基本上行秩等于列秩只依赖于两个事实：
1.
对偶函子是左恰当的。
2.
线性空间和其对偶空间同构当且仅当维度是有限的