在△OPQ中，OA＝12OP，OB＝13OQ，QA与PB相交于点C，设OP=a，OQ=b（1）用a，b表示OC；（2）过C点作直线l分

Question

在△OPQ中，OA＝12OP，OB＝13OQ，QA与PB相交于点C，设OP=a，OQ=b（1）用a，b表示OC；（2）过C点作直线l分别与线段OQ，OP交于点M，N，设OM＝λOQ，ON＝μOP，求证：25μ+15λ=1．

Answer 1

（1）∵A，C，Q三点共线，∴存在实数k，使

AC

＝k

AQ

，∴

OC

＝k

OQ

+(1?k)

OA

=

1?k

2

a

+k

b

；
同理，P，C，B三点共线，∴得到存在实数t，使

OC

＝t

OP

+(1?t)

OB

＝t

a

+

1?t

3

b

；
∴根据平面向量基本定理知：

1?k 2 ＝t k＝ 1?t 3

，解得k＝

1

5

，t＝

2

5

；
∴

OC

＝

2

5

a

+

1

5

b

；
（2）由N，C，M三点共线，

OC

＝x

OM

+(1?x)

ON

=xλ

b

+(1?x)μ

a

；
又由（1）知 

OC

＝

2

5

a

+

1

5

b

所以

xλ＝ 1 5 (1?x)μ＝ 2 5

，∴

2

5μ

+

1

5λ

＝1?x+x＝1．