设函数fx在闭区间[a，b]上满足罗尔定理的条件 且fx恒等于常数 证明：在(a，b)内至少存在一

Question

设函数fx在闭区间[a，b]上满足罗尔定理的条件 且fx恒等于常数 证明：在(a，b)内至少存在一点ξ 使得f'(ξ)＞0

Answer 1

题目条件错了 应该是f（x）不恒为常数。下面证明
第一种：反证。
假设对于任意c属于（a，b），f‘（c）<=0（不恒为0，否则f恒为常数）
那么a<b, f(a)>f(b) 矛盾 （罗尔定理要 f(a)=f(b) ）
即证原命题
第二种：直接证
f(x)不恒为常数表明：至少有一点c属于(a,b)，使得f(c)≠f(a)和f(b)，由拉格朗日中值定理可知存在m属于（a，c）和n属于（c，b），
使得
f'(m)=[f(c)-f(a)]/(c-a)
f'(n)=[f(c)-f(b)]/(c-b)=[f(c)-f(a)]/(c-b) （因为f(a)=f(b)）
上面两式必有一个为正，即证原命题。

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示