线性代数，在非标准基下，向量内积、模在定义上有什么变化？

Question

如题所述

Answer 1

设{e1,e2,...,en}是一组基，不一定是标准正交基
Gram矩阵G=
[ (e1,e1) (e1,e2) ...... (e1,en) ]
[ (e1,e2) (e2,e2) ...... (e2,en) ]
..........
[ (e1,en) (e2,en) ...... (en,en) ]
向量a和b在上述基下的坐标列向量分别为x,y
则(a,b)=x'Gy
注意，当{e1,e2,...,en}是标准正交基时，G=E
也就是(a,b)=x'y
这就是内积的区别，就是不是标准正交基的话，中间的Gram矩阵不再是E，必须乘在中间

至于模，是根据内积的定义，
即||a||=根号{(a,a)}=根号{x'Gx}

当{e1,e2,...,en}是标准正交基时，G=E,
也就是||a||=根号{(a,a)}=根号{x'x}
所以模的区别也就是，如果不是标准正交基的话，中间的Gram矩阵不再是E，必须乘在中间本回答被网友采纳