线性代数 a的秩为n,则aTa的秩也为n，这是为何？？

Question

如题所述

Answer 1

解：

当矩阵a是n阶且秩为n时，｜a｜不等于0，｜aT｜＝｜a｜也不等于0，｜aTa｜＝｜a｜｜Ta｜不等于0，所以aTa为满秩矩阵，其秩必为n。

若A的秩为n－1，则｜A｜＝0，于是AA＊＝｜A｜E＝0，这说明A＊的列都是Ax＝0的解。

因为A的秩为n－1，所以Ax＝0的基础解系只有一个解向量．所以A＊的列向量都可由这一基础解系来线性表示，故A＊的秩不超过1，但A＊有非零元，所以A＊的秩大于或等于1，所以A＊的秩只能等于1。

扩展资料

举例

高等代数，线性代数矩阵A（n×n）的秩为1．那么他的特征值等于：

分析：

因为A的秩等于1，所以A的行向量中有一行非零（记为α，不妨记为列向量），且其余行都是它的倍数．将这些倍数构成列向量β，β≠0

则有A＝βα＾T．

如：A＝

246

123

000

则α＝（1，2，3）＾T，β＝（2，1，0）＾T，A＝βα＾T。

注意到α＾Tβ是两个向量的内积，是一个数（上例中等于4）

所以有Aβ＝（βα＾T）β＝（α＾Tβ）β

所以α^Tβ是A的一个特征值, β是A的属于这个特征值的特征向量。

再由r(A)=1知, 齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-1 个解向量。

综上知 0 是A的 n-1 重特征值。tr(A)=α^Tβ+0+0+...+0=α^Tβ。

Answer 2

因为AtA的解是Ax的解 Ax的解是Atax的解 既然解相同 ，那么自由向量的个数也相同，故秩相同
证明
（1）证明Ax的解是ATAx的解很容易证明
（2）若有AtAx=0 左乘xT得XT（ATAX）=0,
若设Ax={b1.b2.....}
可得 （AX）TAX=b12+b22+……=0故b1 b2...为0 所以是a的解

Answer 3

你的问题中的矩阵a是n阶矩阵才对，否则命题不真。
当矩阵a是n阶且秩为n时，|a|不等于0，|aT|=|a|也不等于0，|aTa|=|a||Ta|不等于0，所以
aTa为满秩矩阵，其秩必为n本回答被提问者采纳

Answer 4

　　因为当矩阵a是n阶且秩为n时，|a|不等于0，|aT|=|a|也不等于0，|aTa|=|a||Ta|不等于0，所以aTa为满秩矩阵，其秩必为n。
　　《线性代数》包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。