线面垂直定理

Question

如题所述

Answer 1

线面垂直定理如下：

直线与平面垂直定义：如果一条直线与平面内任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。

在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”

一、判定定理

定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

注意关键词“相交”，如果是平行直线，则无法判定线面垂直。

二、性质定理

性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。

性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。

推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。）

这两个性质定理在空间几何中有着广泛的应用，例如在求解空间图形的体积、表面积、高度等问题时，可以利用性质定理1来构造或寻找垂高、底面积等量。

在证明空间图形的相似、全等、对称等性质时，可以利用性质定理1来判断或证明两个平面或两条直线是否垂直。

在求解空间图形的投影、视图、截面等问题时，可以利用性质定理2来构造或寻找投影方向、视角、截割平面等量。

在证明空间图形的中心对称、轴对称、旋转等变换时，可以利用性质定理2来判断或证明对称中心、对称轴、旋转轴等量。