已知△ABC的三边为有理数。1）求证cosA是有理数，（2）求对任意正整数n，求证cosnA也是有理数。

Question

已知△ABC的三边为有理数。1）求证cosA是有理数，（2）求对任意正整数n，求证cosnA也是有理数。

Answer 1

（1）求证cosA是有理数。
证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,则由余弦定理有a²=b²+c²-2bccosA,故cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)。因为有理数的四则运算结果仍是有理数，所以(b²+c²-a²)/(2bc)是有理数，即cosA是有理数。
（2）求对任意正整数n，求证cosnA也是有理数。
用数学归纳法证：当n=1时，由（1）知cosA是有理数，假设cos(n-1)A也是有理数，则cosnA=cos(n-1+1)A=cos(n-1)AcosA-sin(n-1)AsinA,cos(n-1)AcosA 是有理数，只要证sin(n-1)AsinA也是有理数就可以了。sin(n-1)A=√[1-cos²(n-1)A,sinA=√(1-cos²A),能否证明它们是有理数呢？
稍后。

Answer 2

1）由余弦定理得cosA=（b*b+c*c-a*a）/2bc，因为a、b、c是有理数啊，所以对他们做的简单的运算后的结果还是有理数啊。
2）可知道复数的幂次方公式？就是棣莫费定理（cosA+isinA）的n次方=cosnA+isinnA。cosnA总可以表示成cosA和sinA叠加的形式，而他们都是有理数。给你算一个简单的例子：把cos3A化简为cosA和sinA的形式。不就是用cos3A+isin3A=（cosA+isinA）的三次方=cosA*cosA*cosA-3cosA*sinA*sinA+3i*cosA*cosA*sinA-isinA*sinA*sinA，把他们实部和实部对应就得到cos3A=cosA*cosA*cosA-3cosA*sinA*sinA,由此可见cos3A是一个有理数吧
就用这个方法，我也可以得到cosnA=....太烦了不好打，反正就用上面的方法，最后用二项式定理展开可以看到他的每一项都是cosA和sinA的形式。那么他就是有理数喽。
这是我的超麻烦的方法，不知道谁教教我简单的方法啊

Answer 3

面对第二题，先证明cos2A=2cos^2A-1为有理数，而
cosnA=cos(n-1+1)A=cos(n-1)AcosA-sin(n-1)AsinA，其中sin(n-1)AsinA=1/2[cosnA-cos(n-2)A]
因此得知cosnA=cos(n-1)AcosA+1/2[cosnA-cos(n-2)A]
cosnA=2cos(n-1)AcosA-cos(n-2)A,以cosA,cos2A为有理数类推，cosnA为有理数。

不是很难吧。个人认为。

Answer 4

根据公式：a^2=b^2 c^2-bc＊CosA，已知abc都为有理数，那么abc的平房也为有理数，所以bcCosA是有理数，所以cosA是有理数。设Cos nA是有理数。我们可以证出Cos 2A是有理。再设Cos (n-1)A是有理，那么可以得出Sin nA*sin A是有理，就可以推出Cos (n 1)A是有理。则可以通过Cos A cos2A推出后面所有的

参考资料：http://tieba.baidu.com/f?kz=792553518

Answer 5

赞！楼上两位都会用棣莫费定理，不过我给上面那位补充一下:cosnA的展开项应该是cosA和sinA的偶次项乘积的形式吧，因为sinA的偶次项总是有理数嘛。从而保证它每一项都是有理数。