为什么矩阵的秩等于列向量的秩

Question

如题所述

Answer 1

证明过程如图所示：

在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩，则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵 A的线性无关纵列的极大数目。

即 A的列空间的维度(列空间是由 A的纵列生成的 F的子空间)。因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义 A的秩为 A的行空间的维度。

扩展资料

计算矩阵A的秩的最容易的方式是高斯消去法。高斯算法生成的 A的行梯阵形式有同 A一样的秩，它的秩就是非零行的数目。

例如考虑4×4矩阵。

我们看到第 2 纵列是第 1 纵列的两倍，而第4纵列等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的，所以A的秩是2。