线性代数题目:设三阶矩阵A的特征值为λ1=2 λ2=-2 λ3=1 对应的特征值向量依次为P1=（0 1 1）P2=(1 1 1)

Question

设三阶矩阵A的特征值为λ1=2 λ2=-2 λ3=1 对应的特征值向量依次为P1=（0 1 1）P2=(1 1 1)P3=(1 1 0)求A

Answer 1

【解法一】
由AP1=λ1P1，AP2=λ2P2，AP3=λ3P3，知P1，P2，P3是矩阵A的不同特征值的特征向量，它们线性无关。利用分块矩阵，有
A(P1，P2，P3)=(λ1P1，λ2P2，λ3P3），因为矩阵（P1，P2，P3）可逆，故
A=(λ1P1，λ2P2，λ3P3）(P1，P2，P3)-1
根据矩阵乘法运算，得A为
-2 3 -3
-4 5 -3
-4 4 -2

【解法二】
因为矩阵A有3个不同的特征值，所以A可相似对角化，有
Q-1AQ = B，Q=（p1，p2，p3），B为
2 0 0
0 -2 0
0 0 1
那么A=QBQ-1=... 下略。

【评注】
反求矩阵A的过程，解法一是通过特征值，特征向量与A的关系求解。解法二是通过相似对角阵来求解。

newmanhero 2015年4月18日15:34:37

希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

【解法一】由AP1=λ1P1，AP2=λ2P2，AP3=λ3P3，知P1，P2，P3是矩阵A的不同特征值的特征向量，它们线性无关。利用分块矩阵，有A(P1，P2，P3)=(λ1P1，λ2P2，λ3P3），因为矩阵（P1，P2，P3）可逆，故A=(λ1P1，λ2P2，λ3P3）(P1，P2，P3)-1根据矩阵乘法运算，得A为-23-3-45-3-44-2【解法二】因为矩阵A有3个不同的特征值，所以A可相似对角化，有Q-1AQ=B，Q=（p1，p2，p3），B为2000-20001那么A=QBQ-1=下略。【评注】反求矩阵A的过程，解法一是通过特征值，特征向量与A的关系求解。解法二是通过相似对角阵来求解。newmanhero2015年4月18日15:34:37希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 4

题目中给出的特征值向量依次为 P1=（0 1 1），P2=(1 1 1)，P3=(1 1 0)错误，
不同特征值的特征向量应互相正交。
记特征值矩阵 ∧ = diag(λ1, λ2, λ3), 特征向量矩阵 P = (p1, p2, p3), 则
AP = P∧， A = P∧P^(-1).

Answer 5

由于三阶矩阵A有3个不同的特征值，故矩阵A可相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得：
P▔*A*P=B （其中p▔为P的逆阵，B为对角阵）
P=(P1,P2,P3),B=diag(λ1,λ2,λ3)
则A= P*B*P▔