试题分析:(1)只需先求出AC中点P的坐标,然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式. (2)由于△DOM与△ABC相似,对应关系不确定,可分两种情况进行讨论,利用三角形相似求出OM的长,即可求出点M的坐标. (3)易证S △PED =S △PFD .从而有S 四边形DEPF =2S △PED = DE.由∠DEP=90°得DE 2 =DP 2 ﹣PE 2 =DP 2 ﹣ .根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:当DP⊥AC时,DP最短,此时DE也最短,对应的四边形DEPF的面积最小.借助于三角形相似,即可求出DP⊥AC时DP的值,就可求出四边形DEPF面积的最小值. 解:(1)过点P作PH∥OA,交OC于点H,如图1所示. ∵PH∥OA, ∴△CHP∽△COA. ∴ = = . ∵点P是AC中点, ∴CP= CA. ∴HP= OA,CH= CO. ∵A(3,0)、C(0,4), ∴OA=3,OC=4. ∴HP= ,CH=2. ∴OH=2. ∵PH∥OA,∠COA=90°, ∴∠CHP=∠COA=90°. ∴点P的坐标为( ,2). 设直线DP的解析式为y=kx+b, ∵D(0,﹣5),P( ,2)在直线DP上, ∴ ∴ ∴直线DP的解析式为y= x﹣5. (2)①若△DOM∽△ABC,图2(1)所示, ∵△DOM∽△ABC, ∴ = . ∵点B坐标为(3,4),点D的坐标为(0.﹣5), ∴BC=3,AB=4,OD=5. ∴ = . ∴OM= . ∵点M在x轴的正半轴上, ∴点M的坐标为( ,0) ②若△DOM∽△CBA,如图2(2)所示, ∵△DOM∽△CBA, ∴ = . ∵BC=3,AB=4,OD=5, ∴ = . ∴OM= . ∵点M在x轴的正半轴上, ∴点M的坐标为( ,0). 综上所述:若△DOM与△CBA相似,则点M的坐标为( ,0)或( ,0). (3)∵OA=3,OC=4,∠AOC=90°, ∴AC=5. ∴PE=PF= AC= . ∵DE、DF都与⊙P相切, ∴DE=DF,∠DEP=∠DFP=90°. ∴S △PED =S △PFD . ∴S 四边形DEPF =2S △PED =2× PE?DE=PE?DE=
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