什么是正交矩阵？有什么性质？

Question

如题所述

Answer 1

正交矩阵是一种特殊的矩阵，它的列向量之间两两相互垂直并且长度为1。常见的正交矩阵有旋转矩阵和镜像矩阵等，它们在数学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。一个重要的性质是正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵，这个性质可以用以下方式证明：

假设A是一个n阶正交矩阵，那么有AT * A = In，其中In表示n阶单位矩阵。我们需要证明A的逆矩阵是AT。

对于A*AT，它是一个n阶方阵，我们需要证明它等于单位矩阵In。考虑它的第i行第j列元素（i,j=1,2,...,n）：

(A * AT)ij = a(i,1) * a(j,1) + a(i,2) * a(j,2) + ... + a(i,n) * a(j,n)

由于A是正交矩阵，则有a(i,k) * a(j,k) = 0 (k=1,2,...,n,k≠i,k≠j)以及a(i,i) * a(j,i) + a(i,j) * a(j,j) = 0 (i≠j)。因此，对于i = j，有

(A * AT)ii = a(i,1)2 + a(i,2)2 + ... + a(i,n)2 = 1

对于i ≠ j，有

(A * AT)ij = a(i,1) * a(j,1) + a(i,2) * a(j,2) + ... + a(i,n) * a(j,n) = 0

因此，A * AT = In，即A的逆矩阵为AT。这个结论也可以用行列式和伴随矩阵来证明。

由于正交矩阵的列向量之间两两垂直并且长度为1，所以它的转置矩阵等于它的逆矩阵。这个性质在许多应用中都非常有用。例如，在3D图形学中，正交矩阵通常用于描述物体的旋转、缩放和平移等变化。知道一个正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵后，我们就可以通过取转置矩阵来快速计算变换的逆矩阵，从而实现更高效的3D图形计算。