将23个相同的小球分成数量不相同的三堆每堆至少两个至多11各有几种不同的分法？

Question

如题所述

Answer 1

要将23个相同的小球分成数量不相同的三堆，每堆至少两个至多11个，共有几种不同的分法，可以采用组合数学的方法进行计算。

首先，将23个小球分成三堆的总方案数是：C(23,2) × C(21,2)，其中C(n, m)表示从n个物品中选出m个物品的组合数，即C(n, m) = n!/(m! (n-m)!)。

其次，把三堆的球数限制在[2,11]之间，因此需要对每一堆的球数进行讨论：

- 如果有一堆包含12个球，则其他两堆的球数之和为23-12=11，由于每堆至少两个球，因此只有一种情况，即12-2-7。
- 如果有两堆各包含11个球，则第三堆只有一个球，由于每堆至少两个球，因此不存在这种情况。
- 如果有两堆球数中较大的一堆包含10个球，则第三堆的球数为3，根据不同堆的选择，共有C(13,3)种不同的分法。
- 如果有两堆球数中较大的一堆包含9个球，则第三堆的球数可能是4、5或6，分别有C(14,4)、C(15,5)、C(16,6)种不同的分法。
- 如果两个较大的堆分别包含8和7个球，那么第三堆的球数可能是8、9或10，分别有C(15,8)、C(16,9)、C(17,10)种不同的分法。
- 如果两个较大的堆分别包含了6或更少的球，则第三堆的球数可以是2到11之间的任意数值，共有C(22,11)种不同的分法。

综合上述情况，各种方案数分别为：

(12-2-7): 1种
(10-4-7), (10-5-6), (10-6-5), (9-3-11), (9-4-10), (9-5-9), (9-6-8), (9-7-7): 8种
(8-3-12), (8-4-11), (8-5-10), (8-6-9), (8-7-8), (7-4-12), (7-5-11), (7-6-10), (7-7-9): 9种
22, 23: 2种

因此，一共有20种不同的分法。