1.相关系数与相关函数
地震勘探中经常会遇到需要确定两个波形函数(即两段地震记录)的相似程度的问题。见图8-1-1，直观地看出图(a)所示的x1(t)和y1(t)不相似，图(b)中的x2(t)和y2(t)很相似。在数字处理中，要用数值定量地描述波形函数的相似程度，就必须引入相关系数与相关函数的基本概念。
任意两道记录x(t)和y(t)按照一定的采样间隔离散采样，形成两个数列xn和yn(n=1，2，……N)。这两个数列之间的相似程度可以用均方误差加以描述:
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展开上式得
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上式右端括号中的前两项 和 分别是这两道记录的能量，是与他们的相关性没有关系的常量;而第三项与两道记录的相似程度密切相关。若数列xn和yn完全相同，均方误差为零，则 等于两道记录波动能量的总和 或 ，说明两道记录完全相似;反之，若这两道记录完全不相似，则这两道记录xn与yn的乘积有正有负互相抵消，即 近似等于零，说明这两道记录不相关;若 是一个很大的负数，说明这两道波形振动方向相反，称为负相关。
可见 是决定两个波形函数相关性的重要数值，故定义波形函数序列xn与yn之间的相关系数为
图8-1-1 两个波形相似性的比较
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该式左端括号中的“0”表示相关系数是在两道记录的计时零线没有相对时移的情况下计算得到的。但在实际对比两道记录时，往往要将他们前后挪动，以便寻求记录间最相似时的相对位置。对每一相对时移量都可以计算相关系数，对一系列不断变化的时移τ，相关系数就变成以时移τ为自变量的相关函数。函数序列{xn}与{yn}之间的相关函数为
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若两个波形信号都是连续的长度无限的函数x(t)、y(t)，他们之间的互相关函数应为
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上式中前一个式子表示将xn或x(t)向左移动τ后进行相关，后式表示将yn或y(t)向右移动τ后进行相关。二者是等价的。
一个函数也可以和自己做相关运算
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它也是时移τ的函数，称自相关函数。
2.相关函数与功率谱
对于自相关函数，根据巴什瓦等式
将f(t)做相对时移，由 ，再根据时移定理
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即
可见，自相关函数r11(τ)与功率谱S(ω)形成一对傅立叶变换
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信号f(t)自相关函数的傅立叶变换就是功率谱S(ω)，信号功率谱S(ω)的反变换就是信号的自相关函数r11(τ)。由于自相关函数是偶函数，所以功率谱函数也是偶函数，满足S(ω)=S(-ω)，所以它们又可写成余弦变换
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当τ=0时， ，这就是巴什瓦等式。
对于互相关函数，
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因为
所以
S12(ω)称为f1(t)和f2(t)的能流密度，它们也形成一对傅立叶变换
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