线性变换

Question

已知线性变换T定义在线性空间V上，若存在V的2维子空间W和W的标准正交基{x1,x2}，存在实数θ使得T(x1)=(cosθ)x1+(sinθ)x2, T(x2)=(-sinθ)x1+cos(θ)x2, 且对任意y∈W⊥(注，W⊥定义为V中与W中所有元素正交的元素的集合)，T(y)=y，那么T称为旋转。(定义略长，其实很简单的)
求证R^3空间的两个旋转复合仍然是旋转

Answer 1

有点难度，应该是这样做：

追问

为什么1是矩阵的特征值?为什么由1是特征值可以推出与那个矩阵相似?

追答

正交矩阵的虚特征根成对出现且模等于1，实根只能是±1。所有特征根的积等于行列式的值。所以1是一个3阶行列式为1的正交矩阵的特征值。一般教材应该有这个结论（可能在习题中）。

后一个问题不仅相似，还是正交相似。这也是经典结论。