已知线性变换T定义在线性空间V上,若存在V的2维子空间W和W的标准正交基{x1,x2},存在实数θ使得T(x1)=(cosθ)x1+(sinθ)x2, T(x2)=(-sinθ)x1+cos(θ)x2, 且对任意y∈W⊥(注,W⊥定义为V中与W中所有元素正交的元素的集合),T(y)=y,那么T称为旋转。(定义略长,其实很简单的)
求证R^3空间的两个旋转复合仍然是旋转
有点难度,应该是这样做:
为什么1是矩阵的特征值?为什么由1是特征值可以推出与那个矩阵相似?
追答正交矩阵的虚特征根成对出现且模等于1,实根只能是±1。所有特征根的积等于行列式的值。所以1是一个3阶行列式为1的正交矩阵的特征值。一般教材应该有这个结论(可能在习题中)。
后一个问题不仅相似,还是正交相似。这也是经典结论。