微分学中可微是否一定可导？

Question

如题所述

Answer 1

可微与可导的区别定义不同、几何意义不同。

1、定义不同：如果函数f在某一点x处可导，则称f在x处可微。换句话说，可导是函数在某一点处可微的必要条件，但不是充分条件。因此，一个函数可能可导但不可微，或者既不可导又不可微。

2、几何意义不同：一元函数的可导与可微在几何上表现为切线斜率与曲线在某一点的切线是否存在的问题。具体来说，如果一元函数在某一点处可导，那么函数在该点的切线斜率存在；而如果一元函数在某一点处可微，那么函数在该点的切线是存在的。

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件推导而来。

连续连续可导条件：就是一个函数在某一点求极限，如果极限存在，则为可导，若所得导数等于函数在该点的函数值，则函数为连续可导函数，否则为不连续可导函数。

可导和可微的关系：

1、可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。

2、可微与连续的关系：可微与可导是一样的。

3、可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积。

4、可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。