实数基本定理是实数存在性定理、实数唯一性定理、实数无理数定理、实数有理数定理、实数连续性定理、实数的稠密性定理。
一、实数公理的定义
定义实数的一种途径。按照它，所谓实数系就是定义了两种二元运算（加法与乘法）和一种次序关系（〉）的集合，并且这些运算和次序满足规定的公理。由这些公理可以推出实数的一切性质。
二、实数存在性定理（Completeness Axiom）
实数集合是一个完备的数学对象，它满足实数序列的收敛性和有界性，即实数集合中的任意非空有上界的子集都有最小上界。
三、实数唯一性定理
实数具有唯一性，即在实数集合中不存在两个不同的数值对应于同一数。
四、实数无理数定理
实数中存在无理数，即不能表示为两个整数的比例形式的实数，如根号2和圆周率π。
五、实数有理数定理
实数中存在有理数，即可以表示为两个整数的比例形式的实数，如整数和分数。
六、实数连续性定理
实数集合是连续的，即对于任意两个实数a和b（a < b），在它们之间存在无限多个实数。
七、实数的稠密性定理
实数集合中的有理数和无理数是稠密分布的，即在实数集合中的任意两个不同实数之间，总存在一个有理数或一个无理数。
实数的定义与发展历史
一、实数的定义
实数，是有理数和无理数的总称。实数和虚数共同构成复数。实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。实数是不可数的。
实数是实数理论的核心研究对象。所有实数的集合可称为实数系（real number system）或实数连续统。
任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是唯一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
二、发展历史
在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们认识到有理数在几何上不能满足需要，但毕达哥拉斯本身并不承认无理数的存在。 直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。
18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。