已知函数 ，试讨论此函数的单调性。

Question

已知函数 ，试讨论此函数的单调性。

Answer 1

已知函数 ，试讨论此函数的单调性。

，递增区间为 ，递减区间为 若 ，递增区间为 ，递减区间为 若 单调递减区间为 ，递增区间为 若 ，单调递增区间为 ，递减区间为

试题分析： 若 ，所以 的单调递增区间为 ，递减区间为 若 ，令 若 ，则 的单调递增区间为 ，递减区间为 若 ，所以 的单调递增区间为 ，递减区间为 若 ，则 的单调递减区间为 ，递增区间为 若 ，所以 的单调递增区间为 ，递减区间为 点评：主要是考查了导数在研究函数单调性中的运用，属于中档题。体现了分类讨论思想的运用。

Answer 2

已知函数f(x)=-(2m+2)lnx+mx-(m+2)/x ，试讨论此函数的单调性
解：
∵函数f(x)=-(2m+2)lnx+mx-(m+2)/x ，
∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，
∵f'(x)=-(2m+2)/x +m+(m+2)/x²
=m/x²-(2m+2)/x+(m+2)/ x2
=(x-1)[mx-(m+2)]/ x² ，
①当m=0，f'(x)=-2(x-1)/x²=0，
∴x=1，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；
②当m≠0时，令f′（x）=0，
∴x₁=1，x₂=(m+2) /m ，
若m＞0，则x₁＜x2，
∵当x∈（0，x₁）和x∈（x₂，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（0，x₁），（x₂，+∞），递减区间为（x₁，x₂）；
若-2＜m＜0，则x₂＜0＜x₁，
∵当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；
若m＜-2，则0＜x₂＜1，
∵当x∈（0，x₂）和x∈（x₁，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（x₂，x₁）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间为（0，x₂），（x₁，+∞），递增区间为（x₂，x₁）；
若m=-2，则x₂=0=x₁，
∵当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；
综上所述:当m＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，x₁），（x₂，+∞），
递减区间为（x₁，x₂），
当-2≤m≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，1），
递减区间为（1，+∞），
当m＜-2时，f（x）的单调递减区间为（0，x₂），（x₁，+∞），
递增区间为（x₂，x₁）．