高数微分方程

Question

高数微分方程求解答

Answer 1

(x³+y³)dx-3xy²dy=0
用凑微分法
x³dx+y³dx-3xy²dy=0
x³dx=3xy²dy-y³dx
两边除以x²
xdx=3xy²dy/x²-y³dx/x²
因为(y³/x)'=(xy³-3xy²y')/x²
所以上式
x=3xy²dy/x²dx-y³/x²
x=3xy²y'/x²-y³/x²
x=(y³/x)'
两边积分得
y³/x=x²/2+C
y³=x³/2+Cx
我没有用线性微分方程的解法来做，如果你有需要，我在补充。追问

我的天，好厉害，麻烦用下线性的，刚学还不会，谢谢

追答

dy/dx=(x³+y³)/3xy²=(1/3)[(x/y)²+(y/x)]=(1/3)[1/(y/x)²+(y/x)]
令y/x=u,则y=ux,dy/dx=u+x(du/dx),代入上式得：
u+x(du/dx)=(1/3)[(1/u²)+u]
故有x(du/dx)=1/(3u²)-(2/3)u=(1-2u³)/(3u²)
分离变量得x/dx=(1-2u³)/(3u²du)
取倒数得(1/x)dx=3u²du/(1-2u³)=-(1/2)[d(1-2u³)]/(1-2u³)
两边取积分得lnx=-(1/2)ln(1-2u³)+lnC₁=ln[C₁/√(1-2u³)]
故得x=C₁/√(1-2u³)],将u=y/x代入得x=C₁/√[1-2(y/x)³)]=C₁x(√x)/√(x³-2y³)
于是得√(x³-2y³)=C₁√x
平方去根号便得原方程的通解为：x³-2y³=Cx,其中C=C1²

追问

嗯嗯，懂了，谢谢