二项分布的期望和方差公式推导

Question

如题所述

Answer 1

二项分布的期望和方差公式推导，相关内容如下：

1. 二项分布的期望：

假设有一次伯努利试验，成功的概率为p，失败的概率为1−p，进行了n次试验，那么成功的次数可以用随机变量X表示。X服从二项分布。

每次试验成功的期望是p，失败的期望是1−p。因此，X的期望是成功次数的总和，即E(X)=np。

2. 二项分布的方差：

二项分布的方差可以通过期望和方差的性质进行推导。考虑n次试验中成功次数的方差。

记每次试验成功的方差为Var(Xi)，那么X的方差是各次试验方差的总和。由于每次试验是相互独立的，因此二项分布的方差为各次试验方差的总和：

Var(X)=Var(X1)+Var(X2)+⋯+Var(Xn)

每次试验中成功的方差为p(1−p)。因此：

Var(Xi)=p(1−p)

将每次试验的方差带入总方差的表达式中：

Var(X)=np(1−p)

二项分布的期望和方差总结：

综上所述，二项分布的期望和方差公式为：

E(X)=np

Var(X)=np(1−p)

二项分布是描述n重伯努利试验中成功次数的概率分布。伯努利试验是一种只有两种结果的随机试验，成功和失败。二项分布的期望和方差可以通过概率论中的基本原理和数学推导得出。

这两个公式是二项分布的重要性质，描述了在多次独立的伯努利试验中成功次数的平均值和分布范围，对于理解和应用二项分布有着重要的指导作用。