微分方程是一种包含未知函数及其导数的方程。可以描述许多自然现象和科学问题中的变化规律，例如物理、化学、生物、经济等领域。
一、微分方程的分类
1、根据未知函数的个数，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程只含有一个自变量的未知函数及其导数
y′′+y=sinx
偏微分方程含有多个自变量的未知函数及其偏导数
∂u/∂t=∂2u/∂x2
2、根据未知函数及其导数是否都是线性的，微分方程可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
线性微分方程满足叠加原理，即如果两个函数都是方程的解，那么它们的线性组合也是方程的解
y′′+y=sinx
非线性微分方程不满足叠加原理，它们通常更复杂和难以求解
y′′+y2=sinx
二、求解的方法
求解微分方程的方法有很多，一般来说，求解微分方程的目标是找到一个或多个满足方程条件的函数，称为通解或特解。
通解是包含任意常数的最一般的解，可以表示无穷多个特解
y=c1cosx+c2sinx
是方程 y′′+y=0 的通解，其中 c1 和 2c2 是任意常数。
特解是在给定一些边界条件或初始条件下的唯一解，可以表示某个具体问题的解决方案
y=1/2sinx+1/2cosx
是方程 y′′+y=0 在条件 y(0)=1和y′(0)=0 下的特解。
微分方程的历史和发展
1、公元前3世纪
亚历山大港的数学家阿基米德研究了抛物线和圆柱螺旋线等曲线的性质，并提出了求曲线切线和曲率的方法。
2、公元17世纪初
法国数学家费马和笛卡尔创立了解析几何，并将代数和几何相结合。
3、公元17世纪中期
英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨独立发明了微积分，并建立了微分和积分之间的基本定理。
4、公元18世纪初
瑞士数学家欧拉系统地研究了常微分方程和偏微分方程，并提出了欧拉方法、欧拉方程、欧拉常数等概念。
5、公元18世纪中期
法国数学家拉格朗日和德国数学家拉普拉斯发展了变分法和势理论，并解决了许多力学和天文学问题。