(1)、如图所示,连接OP、PB。
因为PA=PD,所以∠PAD=∠D,因为AB为圆O的直径,所以∠APB=90°,
因为∠ACP=∠ABP=60°,所以∠PAD=∠D=30°,
又因为OP=OB,所以△OBP为等边三角形,有∠POD=60°,
所以在△POD中∠OPD=180°-∠POD-∠D=180°-60°-30°=90°,
即OP⊥PD,所以PD是圆O的切线。
(2)①、
因为AB为圆O的直径,所以∠APB=∠ACB=90°,
则当∠PAC=90°时,四边形APBC即为矩形,
此时对角线AB=PC且互相平分,即点E与点O重合,
因为AB=4,所以在等边△OBP中有OB=EB=PB=2,∠ABP=60°,
而∠D=30°,所以∠BPD=∠D=30°,△BPD为等腰三角形,有BP=BD=2,
所以DE=EB+BD=2+2=4,
即当DE=4时,四边形APBC为矩形。
(2)②、
因为OC、OP为圆O半径且△OBP为等边三角形,所以OC=OB=OP=PB=2,
由“四边都相等的四边形是菱形”可知当OC=OP=PB=BC时四边形OPBC为菱形,
此时OB、PC互相垂直平分,即点E为OB中点,OE=BE=1,
因为在等边△OBP中∠OBP=60°,∠D=30°,所以∠BPD=∠D=30°,
△BPD为等腰三角形,有BP=BD=2,所以DE=BE+BD=1+2=3,
即当DE=3时,四边形OPBC为菱形。
⑴证明:∵P点在圆周上
∴∠APB=90°(半圆上的圆周角是直角)
∵∠ABP=∠ACP=60°(在同圆中,同弧所对的圆周角相等)
∴∠PAB=90°-60°=30°=∠OPA=∠D
∴∠DOP=∠OAP+∠OPA=30°+30°=60°
∴∠OPD=180°-(30°+60°)=90°
∴PD⊥OP
∴PD是⊙O的切线(经过半径外端且垂直半径的直线是圆的切线)
⑵如图:
①当C点在PO延长线上与⊙O交于一点C1时(如图红C1点)
则因PC1=AB,且PC1与AB被O点互相平分
∴四边形APBC是矩形(对角线互相平分且相等的四边形是矩形)
此时,因∠D=30° 所以E点(即O点)到D点的ED =2OP=AB=4
即:DE=4时,四边形APBC是矩形
②过P点作PC⊥AD交⊙O于一点C,则四边形OPBC即为菱形(证明略)
此时:∵AD=OA+OD=OA+2OP=2+4=6
DE=6÷2=3(等腰三角形底边上的高平分底边)
故所求:当DE=3时,四边形OPBC是菱形。