设函数在f(z)在z0连续,且f(z0)=\0,证明可找到z0的小邻域使在小邻域内f(z)=\0

Question

如题所述

Answer 1

因为f(x)在z0处连续，即|f(z)|在z0处连续，所以lim(z-->z0)|f(z)|=|f(z0)|。
由极限的定义可知，对任意小的正数a，总存在正实数b，当|z-z0|<b时，有||f(z)|-|f(z0)||<a成立。
取a=|f(z0)|，则存在正数b，当|z-z0|<0、即z0-b<z<z0+b时，||f(z)|-|f(z0)||<|f(z0)|。
即在z0的邻域(z0-b,z0+b)内，0<|f(z)|<2|f(z0)|。
由|f(z)|>0可得：在z0的邻域(z0-b,z0+b)内，使得f(z)不等于0。