三角函数6个诱导公式的推导

Question

公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
　　sin（2kπ＋α）＝sinα k∈z
　　cos（2kπ＋α）＝cosα k∈z
　　tan（2kπ＋α）＝tanα k∈z
　　cot（2kπ＋α）＝cotα k∈z
　　公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（π＋α）＝－sinα k∈z
　　cos（π＋α）＝－cosα k∈z
　　tan（π＋α）＝tanα k∈z
　　cot（π＋α）＝cotα k∈z
　　公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
　　sin（－α）＝－sinα
　　cos（－α）＝cosα
　　tan（－α）＝－tanα
　　cot（－α）＝－cotα
　　公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（π－α）＝sinα
　　cos（π－α）＝－cosα
　　tan（π－α）＝－tanα
　　cot（π－α）＝－cotα
　　公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（2π－α）＝－sinα
　　cos（2π－α）＝cosα
　　tan（2π－α）＝－tanα
　　cot（2π－α）＝－cotα
　　公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（π/2＋α）＝cosα
　　cos（π/2＋α）＝－sinα
　　tan（π/2＋α）＝－cotα
　　cot（π/2＋α）＝－tanα
　　sin（π/2－α）＝cosα
　　cos（π/2－α）＝sinα
　　tan（π/2－α）＝cotα
　　cot（π/2－α）＝tanα
这些公式的推导，，尽量用数学知识来推导，，少用文字描述

Answer 1

先说公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
　　sin（2kπ＋α）＝sinα k∈z
　　cos（2kπ＋α）＝cosα k∈z
　　tan（2kπ＋α）＝tanα k∈z
　　cot（2kπ＋α）＝cotα k∈z
推导过程其实很简单，但在这之前一定要理解三角函数本身的定义，与初中在直角三角形的定义不同，高中学习的角已经拓展到任意角了，所以三角函数的定义和初中也不一样，

高中课本的三角函数的定义是，设一个角的终边与单位圆交点的坐标为（x,y），则一个角的正弦是这个角的终边与单位圆交点的纵坐标，即sinα=y ，一个角的余弦是这个角的终边与单位圆交点的横坐标即cosα=x ，一个角的正切是这个角的终边与单位圆交点的纵坐标与横坐标之比即tanα=y/x ，一个角的余切是这个角的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标之比即cotα=x/y . ，明白三角函数的定义后你就知道为什么终边相同的角的三角函数值相等了,因为他们的终边相同，所以与单位圆的交点是相同的，所以三角函数值相等。

再说公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（π＋α）＝－sinα k∈z
　　cos（π＋α）＝－cosα k∈z
　　tan（π＋α）＝tanα k∈z
　　cot（π＋α）＝cotα k∈z
其实也是这样，因为角α与π+α他们的终边关系其实是关于原点对称的，终边关于原点对称，那么与单位圆的交点就关于原点对称，而关于原点对称的点，他们的横坐标和纵坐标都互为相反数，即如果α的终边与单位圆交点的坐标为（x，y）那么π+α的坐标就是（-x，-y），所以三角函数值的关系就是正弦余弦都要互为相反数，而正切余切的值不变。

公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
　　cos（－α）＝cosα
　　tan（－α）＝－tanα
　　cot（－α）＝－cotα

也是这样，因为α与 -α的终边关系是关于x轴对称，所以终边与单位圆的交点也是关于x轴对称，所以与单位圆交点的坐标关系是：若α终边与单位圆交点为（x，y），则 -α终边与单位圆交点则为（x，-y），所以余弦值不变，正弦值要变为相反数，正切余切也变为相反数。

　公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（π－α）＝sinα
　　cos（π－α）＝－cosα
　　tan（π－α）＝－tanα
　　cot（π－α）＝－cotα

　　公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（2π－α）＝－sinα
　　cos（2π－α）＝cosα
　　tan（2π－α）＝－tanα
　　cot（2π－α）＝－cotα
公式4和公式5的推导很简单，只要把减α看成是加上-α就行了。

最后公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系其实和公式3差不多，就是要看π/2±α与α的终边关系，先说π/2+α和α，他们的终边其实是关于直线y=x对称的，那你想想，关于直线直线y=x对称的点是什么关系？其实就是x、y要互换，也就是说如果α的终边与单位圆交点的坐标为（x，y）
那么π/2+α的终边与单位圆交点的坐标为（y，x），所以正弦余弦值要互换，正切余切也要互换
即　sin（π/2＋α）＝cosα
　　cos（π/2＋α）＝－sinα
　　tan（π/2＋α）＝－cotα
　　cot（π/2＋α）＝－tanα

而　sin（π/2－α）＝cosα
　　cos（π/2－α）＝sinα
　　tan（π/2－α）＝cotα
　　cot（π/2－α）＝tanα 怎样推导呢，只要把π/2－α看成是π/2＋（-α）就行了！
这些公式推导，当然要用数学知识来推导，但是你主要是没弄清楚三角函数的定义（概念），所以不理解。 只有理解好三角函数的定义，才能理解诱导公式的推导！希望设为最佳答案。（本人是高中数学老师）

Answer 2

这是记忆三角函数诱导公式的口诀。例如计算:sin240;tan240
sin240=sin(180+60)=-sin60；
sin240=sin(270-30)=-cos30。
以上的180度是90度的偶数（2）倍，结果仍然是原来的函数（正弦），
而270度是90度的奇数（3）倍，结果就变成了原函数的余函数（余弦），
因为原来的角240度是第三项限的角，原函数的符号是负的。
“奇变偶不变”是说，角前面的度数是90度的倍数。如果是偶数，则函数名称不变，如果是奇数，则要变成它的余函数（正、余弦互相变，正、余切互相变，正、余割互相变）
“符号看象限”是说，要服从原来的角所在的象限中原来函数的符号。追问

看不明白，，没有数学道理可以证明，，不严谨，，况且这个答案在别的提问里出现过了

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Answer 3

所有的这些公式都可以用三角函数的和差公式来推导
sin（α+β）=sinαcosβ + cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ - sinαsinβ
其中β还可用-β代换，出现了差的形式
tan用sin比cos类推
类似地，cot也可解决
不信，你带个角进去算算

Answer 4

全都可以用两角和与差的三角函数公式展开。