高二数学

Question

1.一个圆锥底面半径为R，高为（根号下3）R，求圆锥内接正四棱柱表面积最大值
过程。要详细。。谢谢

Answer 1

沿着竖直面的截面是一个三角形，这个三角形是一个等腰三角形，底边是2R，高是根号3R，(这里我的理解是R在根号外面)，所以这是一个等边三角形。
设这个正四棱柱的高为h，正四棱柱的定义是底面为正方形的直四棱柱，沿着这个四棱柱的底面的对角线的竖直面的截面，得到的图形一定是一个等边三角形加上一个内接矩形，这个矩形的高为h，底边=(R-h/根号3)*2，由于这个矩形的底边是正四棱柱底面的对角线，由于底面是正方形，所以底面的边长=(R-h/根号3)*2/根号2=(R-h/根号3)*根号2，所以这个正四棱柱的表面积=2*[(R-h/根号3)*根号2]^2+4*(R-h/根号3)*根号2*h，将该关于h的二次函数配成平方式，然后根据h的取值范围为(0,h)判断函数的最大值

Answer 2

首先一个高为h，对角线长度是2r的正四棱柱的表面积是
4r×r+4rh×sqrt(2)
在这个圆锥中，如果正四棱柱的高度是h的话，先求出在圆锥中，底面向上高h处的半径是r，那么有关系式
h=(R-r)*sqrt(3)
这个r就是正四棱柱的对角线的一半，
把h的关系式带入正四棱柱的表面积公式中，通过配方，得到面积的最大值，你试试看吧！