高等数学1基础知识
一、三角函数
1．公式
同角三角函数间的基本关系式：
·平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1; tan^2(α)+1=sec^2(α);cot^2(α)+1=csc^2(α)
·商的关系：
tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα
·倒数关系：
tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1
三角函数恒等变形公式：
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
·半角公式：
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
2．特殊角的三角函数值
0
1 0
0 1
0 1 不存在
不存在 1 0
只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。
3诱导公式：
函数
角A sin cos tg ctg
-α -sinα cosα -tgα -ctgα
90°-α cosα sinα ctgα tgα
90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα
180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα
180°+α -sinα -cosα tgα ctgα
270°-α -cosα -sinα ctgα tgα
270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα
360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα
360°+α sinα cosα tgα ctgα
记忆规律： 竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割
即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）
二、一元二次函数、方程和不等式
无实根
三、因式分解与乘法公式
四、等差数列和等比数列
五、常用几何公式
平面图形
名称 符号 周长C和面积S
正方形 a—边长 C＝4a
S＝a2
长方形 a和b－边长 C＝2(a+b)
S＝ab
三角形 a,b,c－三边长
h－a边上的高
s－周长的一半
A,B,C－内角
其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2
＝ab/2·sinC
＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
＝a2sinBsinC/(2sinA)
平行四边形 a,b－边长
h－a边的高
α－两边夹角 S＝ah
＝absinα
菱形 a－边长
α－夹角
D－长对角线长
d－短对角线长 S＝Dd/2
＝a2sinα
梯形 a和b－上、下底长
h－高
m－中位线长 S＝(a+b)h/2
＝mh
圆 r－半径
d－直径 C＝πd＝2πr
S＝πr2
＝πd2/4
扇形 r—扇形半径
a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360)
S＝πr2×(a/360)
圆环 R－外圆半径
r－内圆半径
D－外圆直径
d－内圆直径 S＝π(R2-r2)
＝π(D2-d2)/4
椭圆 D－长轴
d－短轴 S＝πDd/4
立方图形
名称 符号 表面积S和体积V
正方体 a－边长 S＝6a2
V＝a3
长方体 a－长
b－宽
c－高 S＝2(ab+ac+bc)
V＝abc
圆柱 r－底半径
h－高
C—底面周长
S底—底面积
S侧—侧面积
S表—表面积 C＝2πr
S底＝πr2
S侧＝Ch
S表＝Ch+2S底= Ch+2πr2
V＝S底h ＝πr2h
圆锥 r－底半径
h－高 V＝πr2h/3
球 r－半径
d－直径 V＝4/3πr3
＝πd3/6
S=4πr2
＝πd2
基本初等函数
名称 表达式 定义域 图 形 特 性
常
数
函
数
y
C
0 x
幂
函
数
随而异，但在上
均有定义 过点(1，1);
时在
单增；
时在
单减．
指
数
函
数
．
过点．
单增．
单减．
对
数
函
数
过点．
单增．
单减．
正
弦
函
数
奇函数．
．
．
余
弦
函
数
偶函数．
．
．
正
切
函
数
奇函数．
．
在每个周期
内单增
余
切
函
数
,
奇函数．
．
在每个周期
内单减．
反
正
弦
函
数
奇函数．
单增．
．
反
余
弦
函
数
单减．
．
反
正
切
函
数
奇函数．
单增．
．
反
余
切
函
数
单减．
．
极限的计算方法
一、初等函数：
二、分段函数：
基本初等函数的导数公式
(1) ，是常数
(2)
(3) ，特别地，当时，
(4) ， 特别地，当时，
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
基本初等函数的微分公式
(1)、(为常数)；
(2)、(为任意常数)；
(3)、，特别地，当时，；
(4)、，特别地，当时，；
(5)、；
(6)、；
(7)、；
(8)、；
(9)、；
(10)、；
(11)、；
(12)、；
(13)、；
(14)、．
曲线的切线方程
幂指函数的导数
极限、可导、可微、连续之间的关系
条件A 条件B，A为B的充分条件
条件B 条件A，A为B的必要条件
条件A 条件B，A和B互为充分必要条件
边际分析
边际成本 MC =；边际收益 MR =；
边际利润 ML =，= MR—MC
弹性分析
在点处的弹性，
特别的，需求价格弹性：
罗尔定理
若函数满足： (1) 在闭区间连续；
(2) 在开区间可导；
(3) ，则在内至少存在一点，使．
拉格朗日定理
设函数满足:
(1) 在闭区间连续；
(2) 在开区间可导，
则在上至少存在一点，使得 ．
基本积分公式
(1)
(2) 特别地：
(3)
(4) （有时绝对值符号也可忽略不写）
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13) （或）
(14) （或）
(15) ，
(16) ，
(17) ，
(18) ，
(19) ，，
(20) ，，
(21) ，，
(22) ，．
常用凑微分公式
(1)、
(2)、
(3)、
(4)、
(5)、
(6)、
(7)、
(8)、
(9)、
(10)、
(11)、
(12)、
一阶线性非齐次微分方程的通解为
平面图形面积的计算公式
1)区域D由连续曲线
和直线x=a,x=b围成,其中
（右图）
2)区域D由连续曲线
和直线x=c,x=d围成,其中
（右图）
平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式
1 、绕x轴的旋转体体积（右图）
注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴．
2、绕y轴的旋转体体积（右图）
注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴．
由边际函数求总函数
总利润函数为。
多元复合函数的导数公式
设函数u =φ(x, y)、v =ψ(x, y)在点(x，y)有偏导数，函数z = f (u, v)在对应点(u, v)处可微，则复合函数z = f (φ(x, y),ψ(x, y))在点(x，y)的偏导数
两个特例：
z = f (u, v)，：
z = f (u)，u = u (x, y)：
隐函数导数公式
二元方程所确定的隐函数：
三元方程F(x, y, z) = 0所确定的二元隐函数：，
1.确定函数定义域的主要依据：
(1)当f(x)是整式时，定义域为R；
(2)当f(x)是分式时，定义域是使分母不等于0的x取值的集合；
(3)当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合；
(4)当f(x)是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数非零或大于0的x取值范围；
(5)当f(x)是对数式时，定义域是使真数大于0的x取值的集合；
(6)正切函数的定义域是{}；余切函数的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z}；
(7)当f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x取值的实际意义.
2.求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等等.
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