什么情况下用量子力学估算的热能与传统方法的结果一样

Question

是在容许能级和KT相比十分接近的情况下
为什么？

Answer 1

数学的意义最简洁：
用无穷小理论可以佐证：
当 E >> kT 时 e^(E/kT) >> 1;
1 + e^(E/kT) ~~~ e^(E/kT) ；
于是费米函数 F (E) ~~ 玻尔兹曼分布函数；
（请注意， 费米分布，玻色分布，是把e^(E/kT)的函数放在分母; 而波尔兹曼分布直接把e^(E/kT)放在分母， 其实两者表达的意思是一样的，都是e的-1次方的意思。）

探讨一下物理的意义：
1. 在物理实质上， 经典分布于量子分布的区别。
经典分布的粒子可以分辨。所以在粒子排布时要考虑粒子之间的排列问题。
因为量子力学预言参数一样的微观粒子将不可分辨， 称为全同粒子。 因此全同粒子的分布需要在经典分布上再除以一个排列因子，以抵消不可分辨原则。
顺带一提，因为粒子波函数存在对称性，所以解出了两种全同粒子，一种是反对称的费米子，服从Fermi分布；另一种是对称的玻色子，服从Bose分布。

2。 在统计表达式上，经典分布与量子分布的区别。

2-1 因子e^(-E/kT)的物理意义。
我们看到Bolzman 分布也好，Bose 分布也好，Fermi分布也好，都有一个因子e^(-E/kT).这个因子是什么意思呢？
e^(-E/kT)这个因子并不罕见，它在大气分子密度分布中也有出现，n = n0 e^(-mgh/kT). 意思是海拔高度h处的大气分子密度为 e^(-mgh/kT)。
他还在保守场的理想气体分子分布中出现: n = n0 e^(-P.E/kT).
P.E是势能。式子的意思是势能为P.E处的大气分子密度为 e^(-P.E/kT)。
另外回想一下能量均分定理里面，分子的平均动能为 Ep = 1/2 k T
那么很清楚了.
1. kT就是微观分子的平均动能，
2. P.E/kT就是宏观能量与微观分子动能的比值，
3. 分子的密度比值 n/n0 和 P.E/kT这个能量比值成 e的 -1次方的映射关系。

那么用上面的结果解释一下三大分布里面， E/kT的意义.
1．E代表系统的可能存在状态，粒子可能表现的能级。
2．kT表征粒子的平均动能。
3. 粒子在E出现的概率f 与 E/kT 这个能量比值成e的 -1次方的映射关系。

2-2 从E/kT因子， 区分粒子可不可以分辨，进而区分经典分布与量子分布
因此当系统的可能态的特征能量，与粒子能量相比拟的时候，也就是 E ~ kT时, 粒子显示它的量子性，不能分辨，呈现Fermi,或者Bose分布；
当系统的可能态的特征能量，远小于粒子能量的时候， 也就是 E >> kT时, 粒子显示它的宏观性，可以分辨，呈现Bolzman分布；

详细证明见<半导体物理 by 刘恩科> P54.

Answer 2

经典近似下...
原因楼上说了，不过好像不很清楚，建议翻一下热力学统计的书

Answer 3

因为 1/2mv2=3/2 kT，等式左边采用量子力学的方法,右边为传统方法。