正弦函数sin(x)的泰勒展开式？

Question

如题所述

Answer 1

正弦函数的泰勒展开式可以通过数学归纳法和三角函数的运算性质得到。

首先，我们知道 (x-π/2)^0 = 1，因此正弦函数的泰勒展开式必须以x^0的系数开始。接下来，我们考虑将正弦函数进行泰勒展开，得到

sin(x) = a_0 + a_1*(x-π/2) + a_2*(x-π/2)^2 + a_3*(x-π/2)^3 + ...

其中a_n是正弦函数的泰勒系数。

根据正弦函数的定义，我们有

sin(x) = {sin(x)}' = cos(x){cos(x)}' = -sin(x){sin(x)}'' = -cos(x)*{cos(x)}'' = ...

因此，我们可以得到

a_0 = sin(π/2) = 1

a_1 = -cos(π/2) = 0

a_2 = -sin(π/2) = -1

a_3 = cos(π/2) = 0

...

因此，正弦函数的泰勒展开式为

sin(x) = 1 - (x-π/2) + (x-π/2)^2/3 - (x-π/2)^3/45 + ...

Answer 2

sin(x) 的泰勒级数展开式是一个无穷级数，表示正弦函数 sin(x) 可以用多项式的形式逼近。sin(x) 的泰勒级数展开式的前 n 项为：

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... + (-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)! + ...

其中，x 是一个实数，n 是一个非负整数，"!" 表示阶乘，例如 3! = 3 × 2 × 1 = 6。当 x 的值接近 0 时，这个级数将很好地逼近 sin(x) 的实际值。随着 n 的增大，级数的精度将逐渐提高。

值得注意的是，sin(x) 的泰勒级数展开式是奇数项的，也就是说只有正弦函数而没有余弦函数。余弦函数 cos(x) 的泰勒级数展开式是偶数项的。

Answer 3

泰勒级数是用无穷级数表示一个函数的一种方法。下面是正弦函数sin(x)的泰勒展开式：
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
其中，'!'表示阶乘。可以看到，正弦函数的泰勒展开式是一个无限级数，每一项的次数都是奇数，且系数是正或负的1/阶乘。这个级数是无穷的，但当x取有限值时，级数的前几项之和可以非常精确地近似表示sin(x)。