若实数a，b，c，d满足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为（ ）A．2B．2C．2

Question

若实数a，b，c，d满足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为（　　）A．2B．2C．22D．8

Answer 1

解答：解：∵实数a、b、c、d满足：
（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，
∴b+a²-3lna=0，设b=y，a=x，
则有：y=3lnx-x²
c-d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，
∴（a-c）²+（b-d）²就是曲线y=3lnx-x²与直线y=x+2之间的最小距离的平方值
对曲线y=3lnx-x²求导：y'（x）=

3

x

-2x，
与y=x+2平行的切线斜率k=1=

3

x

-2x，
解得：x=1或x=-

3

2

（舍）
把x=1代入y=3lnx-x²，得：y=-1，
即切点为（1，-1）
切点到直线y=x+2的距离：

|1+1+2|

2

=2

2

∴（a-c）²+（b-d）²的最小值就是8．
故选：D．

Answer 2

解：∵实数a、b、c、d满足：
（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，
∴b+a2-3lna=0，设b=y，a=x，
则有：y=3lnx-x2
c-d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，
∴（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值
对曲线y=3lnx-x2求导：y'（x）=
3
x
-2x，
与y=x+2平行的切线斜率k=1=
3
x
-2x，
解得：x=1或x=-
3
2
（舍）
把x=1代入y=3lnx-x2，得：y=-1，
即切点为（1，-1）
切点到直线y=x+2的距离：
|1+1+2|
2
=2
2
∴（a-c）2+（b-d）2的最小值就是8．
故选：D．