数学博士的研究方向非常广泛，涵盖了纯数学和应用数学的各个领域。以下是一些常见的数学博士研究方向：
1.代数几何：研究高维空间中的点、线和曲线的性质，以及它们之间的相互关系。这个领域涉及到许多抽象的概念和技巧，如环论、域论和同调代数等。
2.拓扑学：研究空间的性质，特别是它们的形状和结构。拓扑学家关注的问题包括连通性、紧致性和同胚等。
3.微分几何：研究曲线、曲面和更高维度空间上的点的性质，以及它们之间的相互关系。微分几何与物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
4.概率论与统计学：研究随机现象的规律性和不确定性。概率论与统计学在金融、保险、生物信息学和数据科学等领域有着广泛的应用。
5.数值分析：研究如何用计算机求解数学问题，特别是那些不能用解析方法解决的问题。数值分析在计算机图形学、计算流体动力学和量子计算等领域有着重要的应用。
6.优化理论：研究如何找到最优解或近似最优解，以解决实际问题。优化理论在运筹学、机器学习和人工智能等领域有着广泛的应用。
7.控制理论：研究如何设计控制器来实现对系统的稳定和优化控制。控制理论在航空航天、机器人技术和自动驾驶等领域有着重要的应用。
8.动力系统：研究随时间变化的系统的行为，特别是那些具有复杂行为和混沌现象的系统。动力系统在生物学、气象学和经济学等领域有着广泛的应用。
9.图论：研究网络和图形的结构性质，以及它们在实际应用中的作用。图论在社交网络分析、计算机网络和生物信息学等领域有着重要的应用。
10.组合数学：研究离散结构和计数问题，特别是那些涉及到排列、组合和概率的问题。组合数学在密码学、编码理论和计算机科学等领域有着广泛的应用。