1,自反:R为A上的二元关系,若
对于任意的x,x属于集合A→<x,x>∈R,则称R在A上是自反的
2;对称: 数学上,若对所有的
a
和
b
属于
X,下述语句保持有效,则集合
X
上的二元关系
R
是对称的:「若
a
关系到
b,则
b
关系到
a。」
数学上表示为:
<math>\forall
a,
b
\in
X,\
a
R
b
\Rightarrow
\;
b
R
a</math>
例如:“和……结婚”是对称关系;“小于”不是对称关系。
对称关系不是反对称关系(aRb
且
bRa
得到
b
=
a)的反义。有些关系既是对称的又是反对称的,比如"等于";有些关系既不是对称的也不是反对称的,比如整数的"整除";有些关系是对称的但不是反对称的,比如"模
n
同余";有些关系不是对称的但是反对称的,比如"小于"。
3传递: 在逻辑学和数学中,若对所有的
a,b,c
属于
X,下述语句保持有效,则集合
X
上的二元关系
R
是传递的:「若a
关系到
b
且
b
关系到
c,
则
a
关系到
c。」
数学上表示为:
<math>\forall
a,
b,
c
\in
X,\
a
R
b
\and
b
R
c
\;
\Rightarrow
a
R
c</math>
4反自反:
5反对称: 数学上,若对所有的
a
和
b
属于
X,下述语句保持有效,则集合
X
上的二元关系
R
是反对称的:「若对所有的
a
和
b
属于
X,若
a
关系到
b
且
b
关系到
a,则
a
=
b。」
数学上表示为:
<math>\forall
a,
b
\in
X,\
a
R
b
\and
b
R
a
\;
\Rightarrow
\;
a
=
b</math>
严格不等是反对称的;实际上
a
<
b
且
b
<
a
是不可能的,因此严格不等的反对称性是一种空虚的真(vacuously
true)。
注意,反对称关系不是对称关系(aRb
得到
bRa)的反义。有些关系既是对称的又是反对称的,比如"等于";有些关系既不是对称的也不是反对称的,比如整数的"整除";有些关系是对称的但不是反对称的,比如"模
n
同余";有些关系不是对称的但是反对称的,比如"小于"。
满足传递性和自反性的反对称关系称为偏序关系。
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