定积分问题

Question

为什么用定积分的方法算出来 和用几何方法算出来的答案不一样啊？

Answer 1

你算过？我算的是一样的哦！

定积分方法算：
积分：根号(a^2-x^2)dx
设x=asint,(-pi/2<t<pi/2),dx=acostdt
原式=积分：acost*acostdt=a^2积分：cos^2tdt
这个积分不难积，降次，最后把变量换为x就可以了。
注：这个是不定积分的，定积分的就不用变量回代了。
x=0,t=0 x=1,t=arcsin1/a

还有你也可以记公式：
积分：根号(a^2-x^2)dx=a^2/2arcsin(x/a+1/2*x*根号(a^2-x^2)+C
不过这公式有点难记，推一下也不难。

用定积分做出来的结果就是：
a^2/2*arcsin(1/a)+根号(a^2-1)/2

至于用几何的方法就是：

a^2-x^2>=0,则有x在[0,1]之间,a>=x
化为几何的问题也不见得容易求。要分为两部分来求。做直线x=1把面积化为一个直角三角形和一个扇形。
直角三角形的面积为：1/2*1*根号（a^2-1)
扇形的面积为：1/2*arcsin(1/a)*a^2
最后的面积为：根号(a^2-1)/2+a^2/2*arcsin(1/a)

两个做出来是一样的。