证明fx=（1+1/x）∧x＜e

Question

如题所述

Answer 1

f(x)= (1+1/x)^x 所以 f(0)=lim<x-0> (1+1/x)^x =e
将f(x)变形为：lnf（x）=x (ln(1+x)-lnx) ①
对①两边求导有：f'(x)*1/f(x)=(ln(1+x)-lnx) +x(1/(1+x)-1/x)=ln(1+1/x)+x/(1+x)-1
所以 f'(0)=0 所以 f(0)是极大值 （求二阶导证明下 f"(0)<0）
所以 f(x)<f(0)=e

Answer 2

e 是从lim(1+1/x)^x 定义出来的，e的意义在於 e^x 的微分导数等於e^x, 至於lim(1+1/x)^x= 2.7182.....就用很大的数字代入(1+1/x)^x或用很小的数字代入(1+x)^(1/x)你都可以得到e 的近似，而这是无理数，你永远也不能找到尽头，问题是lim(1+1/x)^x=e 而e这个数是否有这神奇的特性: e^x 的微分导数等於e^x, 自己.我们 试做一个微分 y=a^x y'= lim(△x->0) [a^(x+ △x) - a^x]/ △x = lim(△x->0) a^x [a^ △x) - 1]/ △x 问题是a是什麼数字能使 [a^ △x - 1]=△x 那就会y' = a^x 而答案就是a= (1+△x)^(1/△x) , {[(1+△x)^(1/△x) ]^ △x - 1}= △x 所以y' = lim(△x->0) a^x [a^ △x) - 1]/ △x = a^x 而a = lim(△x->0) (1+△x)^(1/△x) 而a 这个数我们叫e 它的数值可以通过代入很大的数字於(1+1/x)^x或用很小的数字代入(1+x)^(1/x)去逼近

Answer 3

证明fx=（1+1/x）∧x＜e