为什么标准差越大,正态分布曲线越平缓

Question

如题所述

Answer 1

因为正态分布有两个参数，均数和标准差，均数用来描述曲线的位置，标准差用来描述曲线的形状，标准差越大，说明观察资料越分散，靠近两边的观察值越多，峰值越低，曲线越低平。

一般的正态分布都可以通过变量变换变成标准正态分布（u分布），变换的公式为$u=(X-mu)/(sigma)$,如果从正态分布总体中抽取多个样本均数，这些样本均数的分布也是正态分布资料，均数为μ，标准差为$sigma_barX$，表达式为$u=(bar X-mu)/(sigma_bar X)$,但是$sigma_bar X$经常不知道，所以用$S_bar X$来代替，就得到了t分布。

$t=(bar X-mu)/(S_bar X)$,t分布由于都以0为中心，故只有一个参数就是自由度$nu$，自由度越大，样本含量越多，抽取出来的这个总体和原来的总体越接近，所以t分布当自由度越大时，峰值越高，越接近标准正态分布。当自由度无穷大时，理论上和标准正态分布重合。

图形特征

集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。

关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。