三角函数积分问题

Question

如题所述

Answer 1

详细过程是，设x=π-t【设原式=I】。∴I=∫(0,π)(π-t)√[sin²t-sint)^4]dt=π∫(0,π)√[sin²t-sint)^4]dt-∫(0,π)t√[sin²t-sint)^4]dt。
∴I=π∫(0,π)√[sin²t-sint)^4]dt-I。∴I=原式=(π/2)∫(0,π)√[sin²x-sinx)^4]dx。
再令x=π/2-y，可得I=(π/2)∫(-π/2,π/2)√[cos²y-cosy)^4]dy。【被积函数是偶函数】∴I=π∫(0,π/2)cosysinydy=π∫(0,π/2)sinyd(siny)=π/2。
供参考。追问

我想知道如果我直接展开 去掉根号 为什么不对

追答

根号内的“sin²x-(sinx)^4”，有sin²x-(sinx)^4=sin²x(1-sin²x)=sin²xcos²x。
而当x∈[0,π]，√[sin²x-sinx)^4]=丨sinxcosx丨。在积分区间cosx有正负值的变化，需要将[0,π]拆成[0,π/2]∪[π/2,π]，确认符号或者去绝对值号后，求积分，结果一样。

Answer 2

∫(sin2x/cos3x)dx =∫(sinx/cos3x)d(-cosx) =∫sinx·d(-cosx)/cos3x =∫sinx·d[1/2cos2x] =sinx·[1/2cos2x]-∫[1/2cos2x]d(sinx) 分部积分 =?sinx·sec2x-?∫[1/(1-sin2x]d(sinx) =?sinx·sec2x-?∫∫[1/(1-sinx)+1/(1+sinx)]±d(1±sinx) =?sinx·sec2x-?[-ln|1-sinx|+ln|1+sinx|]+C =?sinx·sec2x-?ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C =?sinx·sec2x-?ln|√(1+sinx)2/(1-sin2x)|+C =?sinx·sec2x-?ln|(1+sinx)/cosx)|+C =?sinx·sec2x-?ln|secx+tanx|+C