分享一种解法,利用
高斯分布/正态分布密度函数的性质和
伽玛函数【Γ(α)】求解。设A=[1/(δ√π)]^(1/2)、积分(1)、(2)、(3)、(4)式分别用I1、I2、I3、I4表示。
∵X~N(μ,δ²),其密度函数f(x)=(1/√2)A²e^[-(x-μ)²/(2δ²)],∴E(X)=∫(-∞,∞)xf(x)=μ,D(X)=E(X²)-[E(X)]²=δ²,∴E(X²)=∫(-∞,∞)x²f(x)=μ²+δ²。
∴对I1,易得I1=A(√2)/A²E(X)=0; 对I2,易得I2=A(√2)/A²E(X²)=δ²(√2)/A; 对I3,易得I3=A(√2)/A²E(Xⁿ)。利用被积函数“xⁿf(x)” 的奇偶性质,n为奇数时,I3=0、n为偶数时,I3=[2A(δ√2)^(n+1)]Γ((n+1)/2)。
对I4,∵x²/(2δ²)+ikx=((x+iδ²k)²/(2δ²)+δ²k²/2,∴I4=[(√2)/A]e^(-δ²k²/2)。
供参考。