深度探索计算机图形学的奥秘，透视投影：一图解构
想象一下，图1中的直线在投影参考点（Projection Reference Point）处交汇，观察平面就像你的眼睛，观察着这个世界的三维图像。通过直线与观察平面的交点，我们捕捉到了图2中的关键点，记为 ，投影参考点的坐标是 ，交点坐标则为 ，其中观察平面在 轴后方，形成透视效果。
透视投影的数学表达，就像图3中的公式（1）和（2），它们描绘了直线与观察平面的关系。当 和 分别对应于 和 时，我们得到点 和点 。将投影后的点记为 ，观察平面的 值固定，所以投影点的 坐标也确定。通过解出参数 ，如图4所示，我们得以构建完整的投影过程。
在特殊情况下，公式变得更为简洁。例如，当投影参考点位于 轴，公式（1）变为图7中的第一种形式；原点处则是图7的第二种；观察平面与 平面平行时，公式（3）简化为图7的第三种；参考点在 轴且观察面在 平面时，公式是图7的第四种情形。
透视投影观察体就像棱台，绿色的观察平面与近裁剪平面、远裁剪平面相连，如图8所示，这些平面汇聚于投影参考点，形成深度感知的视觉效果。
为了更精确地表达，我们引入了齐次坐标，如图9所示，三维坐标通过四维表达，其中第四个分量是 。通过公式（5）和（6），我们可以将投影关系转换成矩阵形式，如图10中的矩阵（7），它将点的坐标映射到透视空间。
对称透视观察体和视场角的计算，如图11和12所示，观察平面的中心和尺寸决定了投影的特性。我们可以通过宽度、高度或视场角和纵横比来确定观察体的棱台形状。
从观察平面的宽度和高度，或视场角与纵横比出发，我们分别推导出矩阵（15）和（16），如图32和34，它们是透视投影的完整数学工具。
最后，通过矩阵（35）将规范化立方体的坐标映射到屏幕上，如图36和37所示，实际应用中，如Unity演示（图38和39），透视投影技术确保了图形的深度和空间感在屏幕上精确呈现。