函数闭区间的连续性质是指在一个闭区间上，如果一个函数在该区间内的每一个点都连续，那么这个函数在整个闭区间上也是连续的。
首先，我们需要理解什么是闭区间和连续性。闭区间是指包含端点的实数区间，例如[a,b]或(a,b)。连续性是指函数在某一点处的极限存在且等于该点的函数值。换句话说，如果我们可以无限接近于某一点而函数值的变化趋近于这一点的函数值，那么我们就说这个函数在这一点处是连续的。
然后，我们可以通过反证法来证明闭区间上的连续性。假设有一个闭区间[a,b]，函数f在每一个开区间(a,b)上都是连续的，但是在闭区间[a,b]上不连续。那么必然存在一个点c∈[a,b]，使得f(c)不等于f(a)和f(b)。但是这与连续性的定义矛盾，因为连续性要求函数在某一点的极限存在且等于该点的函数值。因此，我们可以得出结论：如果一个函数在一个闭区间的每一个开区间上都连续，那么这个函数在整个闭区间上也是连续的。
最后，我们需要注意到，连续性是一个局部性质，也就是说，一个函数在某一点连续并不意味着它在其它点也连续。只有当一个函数在一个闭区间的每一个点都连续时，我们才能说这个函数在整个闭区间上是连续的。