在三角形ABC中，内角ABC的对边分别为abc,已知a^2-c^2=2b,且sinB=4cosAsinC,求b

Question

如题所述

Answer 1

由sinB=4cosAsinC得sinB/sinC=4cosA
由正弦定理得sinB/sinC=b/c 由余弦定理得4cosA=2（b²+c²-a²）/bc
所以b/c=2（b²+c²-a²）/bc
由上式得b²-2（a²-c²）=0
又因为a²-c²=2b
所以b²-4b=0
解得b=4或0
因为b＞0
所以b=4

Answer 2

解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，
则由正弦定理及余弦定理有：
a•a2+b2-c2 2ab =3b2+c2-a2 2bc •c，
化简并整理得：2（a2-c2）=b2．
又由已知a2-c2=2b∴4b=b2．
解得b=4或b=0（舍）；
法二：由余弦定理得：a2-c2=b2-2bccosA．
又a2-c2=2b，b≠0．
所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，
即sinB=4cosAsinC由正弦定理得sinB=b c sinC，
故b=4ccosA②由①，②解得b=4．