关于高等数学中求无穷级数的和函数的小问题

Question

第43题为什么一开始要求收敛域，而42题却不用？

Answer 1

不管先后，都要求收敛域，因为幂级数的定义域一般是(-∞,+∞)，比和函数存在的范围要大很多。一般应在求和函数之前求收敛域。42题实际上欠缺这一步，有了收敛域，后面才好逐项求导。追问

为什么要先求收敛域呢？不求不行吗？

追答

和函数的存在是需要范围限制的。比如幂级数∑x^n，x可以取值任意实数，但是只有|x|＜1时，幂级数才收敛，有和函数1/(1-x)。如果这个式子∑x^n=1/(1-x)中没有注明x的范围，那么左边的x可以任意取值，右边的x只要x≠1即可，但实际上这个等式成立的条件是|x|＜1。
所以只要求和函数，一定要求收敛域，或者题目要求在收敛区间内求和函数。

Answer 2

可能是两个研究生做的答案，按理42也应该求收敛域，严谨。
42的收敛域同43，也是R.