MATLAB中主要用int进行
符号积分，用trapz,dblquad,quad,quad8等进行数值积分。
int(s) 符号表达式s的不
定积分int(s,x) 符号表达式s关于变量x的不定积分
int(s,a,b) 符号表达式s的定积分，a,b分别为积分的上、下限
int(s,x,a,b) 符号表达式s关于变量x的定积分，a,b分别为积分的上、下限
trapz(x,y) 梯形积分法，x时表示积分区间的离散化向量，y是与x同维数的向量，表示被积函数，z返回积分值。
quad8(‘fun’,a,b,tol) 变步长数值积分，fun表示被积函数的M函数名，a,b分别为积分上、下限，tol为精度，缺省至为1e-3.
fblquad(‘fun’,a,b,c,d) 矩形区域二重数值积分，fun表示被积函数的M函数名，a,b分别为x的上、下限，c,d分别为y的上、下限.
例1 计算二重积分
先编写四个M函数文件,
%二重积分算法文件dblquad2.m
function S=dblquad2(f_name,a,b,c_lo,d_hi,m,n)
%其中f_name为被积函数
字符串,'c_lo'和'd_hi'是y的下限和上限函数 ,都是x的标量函数;a,b分别为x的下限和上限;m,n分别为x和y方向上的等分数(缺省值为100).
if nargin<7, n=100; end
if nargin<6, m=100; end
if m<2|n<2
error('Numner of intervals invalid');
end
mpt=m+1; hx=(b-a)/m; x=a+(0:m)*hx;
for i=1:mpt
ylo=feval_r(c_lo,x(i)); yhi=feval_r(d_hi,x(i));
hy=(yhi-ylo)/n;
for k=1:n+1 y(i,k)=ylo+(k-1)*hy; f(i,k)=feval_r(f_name,x(i),y(i,k)); end
G(i)=trapz(y(i,:),f(i,:));
end
S=trapz(x,G);
%被积函数eg3_fun.m
function z=eg3_fun(x,y)
z=1+x+y;
%积分下限函数eg3_low.m
function y=eg3_low(x)
y=-sqrt(1-x^2);
%积分上限函数eg3_up.m
function y=eg3_up(x)
y=sqrt(1-x^2);
保存后,在命令窗口用MATLAB代码:
>>clear;
>>dblquad2('eg3_fun',-1,1,'eg3_low','eg3_up')
结果为
ans =3.1383
为了得到更精确的数值解，需将区间更细化，比如x和y方向等分为1000分，MATLAB代码：
>>clear; dblquad2('eg3_fun',-1,1,'eg3_low','eg3_up',1000,1000)
结果为 ans =3.1415。
此题也可用int符号计算求解，MATLAB代码为：
>>clear; syms x y;
>>iy=int(1+x+y,y,-sqrt(1-x^2),sqrt(1-x^2));
>>int(iy,x,-1,1)
结果为
ans =pi
例2 quad8计算定积分
%M函数fun1.m
function y=fun1(x)
y=x.^4;
保存后,在命令窗口用MATLAB代码:
>>clear;
>>quad8('fun1',-2,2)
>>vpa(quad8('fun1',-2,2),10) %以10位有效数字显示结果
结果为
ans =12.8000
ans =12.80000000
对于变步长数值积分,常用的有quad,quad8两种命令,quad使用自适应步长Simpson法, quad8使用自适应步长8阶Newton-Cotes法,我们建议用quad8,它不但精度较高,且对假收敛和假奇异积分具有一定的适应性,而quad较差..
龙贝格积分法MATLAB程序代码
function [I,step]=Roberg(f,a,b,eps)
if(nargin==3)
eps=1.0e-4;
end;
M=1;
tol=10;
k=0;
T=zeros(1,1);
h=b-a;
T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b));
while tol>eps
k=k+1;
h=h/2;
Q=0;
for i=1:M
x=a+h*(2*i-1);
Q=Q+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x);
end
T(k+1,1)=T(k,1)/2+h*Q;
M=2*M;
for j=1:k
T(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j))/(4^j-1);
end
tol=abs(T(k+1,j+1)-T(k,j));
end
I=T(k+1,k+1);
step=k;
自适应法求积分MATLAB程序代码
function I=SmartSimpson(f,a,b,eps)
if(nargin==3)
eps=1.0e-4;
end;
e=5*eps;
I=SubSmartSimpson(f,a,b,e);
function q=SubSmartSimpson(f,a,b,eps)
QA=IntSimpson(f,a,b,1,eps);
QLeft=IntSimpson(f,a,(a+b)/2,1,eps);
QRight=IntSimpson(f,(a+b)/2,b,1,eps);
if(abs(QLeft+QRight-QA)<=eps)
q=QA;
else
q=SubSmartSimpson(f,a,(a+b)/2,eps)+SubSmartSimpson(f,(a+b)/2,b,eps);
end
线性振动响应分析的wilson θ积分法MATLAB代码
% see also
http://www.matlabsky.com% contact me
[email protected]% 2010-02-26 16:52:12
%
clc
clear
% 结构运动方程参数
M=1500000;
K=3700000;
C=470000;
% 威尔逊参数θ
theta=1.4;
dt=0.02; % 时间间隔
tau=dt*theta;
% 数据处理
eqd=load('acc_ElCentro_0.34g_0.02s.txt'); % 加速激励，第一列是时间，第二列是
加速度n=size(eqd,1);
t=0:dt:(n-1)*dt;
xg=eqd(:,2)*9.8; % 对加速度进行处理
dxg=diff(xg)*theta; %
F=-M*xg;
% D2x 加速度； Dx 速度； x
位移D2x=zeros(n,1);
Dx=zeros(n,1);
x=zeros(n,1);
for i=1:n-1
K_ba=K+3/tau*C+6/tau^2*M;
dF_ba=-M*dxg(i)+(M*6/tau+3*C)*Dx(i)+(3*M+tau/2*C)*D2x(i);
dx=dF_ba/K_ba;
dD2x=(dx*6/tau^2-Dx(i)*6/tau-3*D2x(i))/theta;
D2x(i+1)=D2x(i)+dD2x;
Dx(i+1)=Dx(i)+D2x(i)*dt+dD2x/2*dt;
x(i+1)=x(i)+Dx(i)*dt+D2x(i)*dt^2/2+dD2x/6*dt^2;
end
subplot(311)
plot(t,x) % 位移
subplot(312)
plot(t,Dx) % 速度
subplot(313)
plot(t,D2x)% 加速度
常微分方程求解方法之四阶龙格-
库塔算法matlab程序代码
function [x,y] = MyRunge_Kutta(fun,x0,xt,y0,PointNum,varargin)
%Runge-Kutta 方法解微分方程形为 y’(t) = f(x,y(x))
%此程序可解高阶的微分方程。只要将其形式写为上述微分方程的向量形式
% x范围为[x0,xt],初值为 y0, PointNum为离散点数,varargin为可选输入项可传适当参数给函数f(x,y)
if nargin < 4 | PointNum <= 0
PointNum= 100;
end
if nargin < 3
y0 = 0;
end
y(1,:) = y0(:)’; %初值存为行向量形式
h = (xt-x0)/(PointNum-1); %计算步长
x = x0+[0:PointNum]‘*h; %得x向量值
for k = 1:PointNum %迭代计算
f1 = h*feval_r(fun,x(k),y(k,:),varargin {:});
f1 = f1(:)’; %得公式中k1
f2 = h*feval_r(fun,x(k) + h/2,y(k,:) + f1/2,varargin{:});
f2 = f2(:)’; %得公式中k2
f3 = h*feval_r(fun,x(k) + h/2,y(k,:) + f2/2,varargin{:});
f3 = f3(:)’; %得公式中k3
f4 = h*feval_r(fun,x(k) + h,y(k,:) + f3,varargin{:});
f4 = f4(:)’; %得公式中k4
y(k + 1,:) = y(k,:) + (f1 + 2*(f2 + f3) + f4)/6; %