n个球放入m个盒子，有多少种方案？

Question

如题所述

Answer 1

n个球放入m个盒子定理为：放球问题是指把 n个球放到 m个盒子里的方案数

把n个相同的小球放入m个不同盒子里，有多少种方法：

把2个相同的小球放入2个不同的盒子里，有3种方法。把2个不同盒子排放在一起，相当于两个盒子之间有一个隔板，隔板之前是第一个盒子，隔板之后是第2个盒子。用1表示隔板，用0表示小球，如001，表示第1个盒子放入2个小球，然后隔板，第2个盒子放入零个小球。

把3个相同的小球放入2个不同的盒子里，有4种方法。0001,0010,0100,1000。

把4个相同的小球放入2个不同的盒子里，有5种方法。

把n个相同的小球放入2个不同的盒子里，有n+1种方法，C(n+1,1)=n+1。

把2个相同的小球放入3个不同的盒子里，有6种方法，C(4,2)=6。

把3个相同的小球放入3个不同的盒子里，有10种方法，C(5,2)=10。

把2个相同的小球放入4个不同的盒子里，有10种方法，C(5,3)=10。

把n个相同的小球放入m个不同的盒子里，有C(n+m-1,m-1)种方法。

把m个盒子并排，相当于m个盒子之间有m-1个隔板。m-1个隔板加上n个小球，相当于有n+m-1个位置。在n+m-1个位置中选择m-1个位置插入隔板，其余位置放入小球，总的方法数是C(n+m-1,m-1)。