欧拉公式如何推出来的呢？

Question

如题所述

Answer 1

您好，欧拉公式是数学中的一条重要公式，它描述了一个复数的指数函数形式。欧拉公式的推导过程如下：
首先，我们知道欧拉公式的表达式是 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$，其中 $e$ 是自然常数，$i$ 是虚数单位，$x$ 是实数。
我们可以将 $\cos x$ 和 $\sin x$ 用泰勒级数展开：
$$ \begin{aligned} \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\ \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \end{aligned} $$
将这两个式子带入 $e^{ix}$ 中，得到：
$$ e^{ix}=\cos x+i\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots $$
将 $e^{ix}$ 再次用泰勒级数展开，得到：
$$ e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots=e^{ix} $$
将两个等式相加，得到：
$$ e^{ix}=\cos x+i\sin x $$
这就是欧拉公式的推导过程。

Answer 2

欧拉公式是数学中的一项重要公式，可以表示为e^ix = cos(x) + i * sin(x)，其中e表示自然对数的底，i表示虚数单位，x表示实数。

欧拉公式的推导可以通过泰勒级数展开来完成。泰勒级数是一种用函数的导数来逼近函数本身的方法。

首先，我们将复数的指数形式e^ix展开成幂级数的形式。根据泰勒级数展开公式，我们可以得到：

e^ix = 1 + ix + (ix)^2/2! + (ix)^3/3! + (ix)^4/4! + ... （无限项）

接下来，我们对这个级数进行重排和分组：

e^ix = (1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...) + i(x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...)

现在我们可以发现，第一个括号中的部分是余弦级数的形式，而第二个括号中的部分是正弦级数的形式。根据余弦和正弦函数的泰勒级数展开公式，我们可以得到：

cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ... （余弦级数）
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... （正弦级数）

因此，我们可以将e^ix展开为：

e^ix = cos(x) + i * sin(x)

这就是欧拉公式的推导过程。

欧拉公式在数学和物理中具有广泛的应用，它将三个基本的数学常数（e、i和π）联系在一起，展示了复数与三角函数之间的深刻关系。追答

欧拉公式是数学中的一项重要公式，可以表示为e^ix = cos(x) + i * sin(x)，其中e表示自然对数的底，i表示虚数单位，x表示实数。欧拉公式的推导可以通过泰勒级数展开来完成。泰勒级数是一种用函数的导数来逼近函数本身的方法。首先，我们将复数的指数形式e^ix展开成幂级数的形式。根据泰勒级数展开公式，我们可以得到：e^ix = 1 + ix + (ix)^2/2! + (ix)^3/3! + (ix)^4/4! + ... （无限项）接下来，我们对这个级数进行重排和分组：e^ix = (1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...) + i(x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...) 现在我们可以发现，第一个括号中的部分是余弦级数的形式，而第二个括号中的部分是正弦级数的形式。根据余弦和正弦函数的泰勒级数展开公式，我们可以得到：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ... （余弦级数）sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... （正弦级数）因此，我们可以将e^ix展开为：e^ix = cos(x) + i * sin(x)这就是欧拉公式的推导过程。欧拉公式在数学和物理中具有广泛的应用，它将三个基本的数学常数（e、i和π）联系在一起，展示了复数与三角函数之间的深刻关系。

本回答被网友采纳

Answer 3

顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2。

对于任意简单几何体(几何体的边界不是曲线)，我们考察这个几何体的每个面，设这个边成一个n边形，我们从某个固定顶点开始连接其其他各个顶点。

即将这个n边形从某个顶点进行了三角剖分，我们假想每个三角形是一个面(因为实际上多个三角形共面)，那么能够看到，这个过程中E和F的增量是相同的，因此如果原来的几何体满足V-E+F= 2，则现在这个几何体(视每个三角形为一个面)仍然满足欧拉公式。

简介

在一个多边形中，顶点被称为“凸”如果内角的多边形的，即，角度由在顶点的两个边缘形成的，与所述角内的多边形，小于π弧度（180°，二直角）;否则，它被称为“凹”或“反射”。

更一般地，多面体或多面体的顶点是凸的，如果多面体或多面体具有足够小的交点球在顶点中心是凸的，和以其他方式凹形。

Answer 4

欧拉公式是数学中的一个重要定理，它将三个基本数学常数e、π和i联系在一起。欧拉公式可以用多种方法推导出来，其中最常见的方法是使用泰勒级数展开。
以下是推导欧拉公式的具体步骤：
1. 泰勒级数展开
首先，我们需要对指数函数e^x使用泰勒级数进行展开。泰勒级数是一种无限级数，它可以表示一个函数在某个点附近的近似值。
e^x = 1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ... + (x^n/n!) + ...
这个级数包含了所有正整数次幂的项，每个幂都乘以1/该幂的阶乘。例如，2的阶乘为2! = 2 × 1 = 2，所以2的倒数为1/2！= 1/2。
2. 将虚数单位i的幂次方替换成sin和cos函数
接下来，我们将虚数单位i的幂次方替换成sin和cos函数，并应用欧拉公式中的等式：e^(ix) = cos(x) + i sin(x)。
例如，当x = π时，e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = -1。
通过代入x的不同值，我们可以得到以下等式：
e^(i0) = cos(0) + i sin(0) = 1
e^(iπ/2) = cos(π/2) + i sin(π/2) = i
e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = -1
e^(3iπ/2) = cos(3π/2) + i sin(3π/2) = -i
3. 代入x = π
我们将上述等式代入泰勒级数展开中的x，并仅保留幂次为偶数的项。这是因为cos函数只包含幂次为偶数的项，而sin函数只包含幂次为奇数的项。
e^(iπ) = 1 + iπ - (π^2/2!) - i(π^3/3!) + (π^4/4!) + i(π^5/5!) - ...
通过分组幂次为偶数和奇数的项，我们可以得到以下等式：
e^(iπ) = (1 - (π^2/2!) + (π^4/4!) - ...) + i(π - (π^3/3!) + (π^5/5!) - ...)
注意，第一组括号中的项正好是cos(π)，而第二组括号中的项正好是i × sin(π)。
由于cos(π) = -1，sin(π) = 0，所以我们可以简化以上等式：
e^(iπ) = -1 + i * 0
e^(iπ) = -1
所以，我们通过泰勒级数展开和欧拉公式中的等式，得到了e^(iπ) = -1的结果，这就是欧拉公式。