积化和差公式怎样推导？

Question

如题所述

Answer 1

和差化积公式推导过程如下：

首先，我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb

sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的，我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb

cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样，我们就得到了积化和差的四个公式：sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。

（1）积化和差最后的结果是和或者差。

（2）若两项相乘，后者为cos项，则积化和差的结果为两项相加；若不是，则结果为两项相减。

（3）若两项相乘，一项为sin，另一项为cos，则积化和差的结果中都是sin项。

（4）若两项相乘，两项均为sin，则积化和差的结果前面取负号。