二重、三重积分的正负怎么理解？

Question

如题所述

Answer 1

不管是定积分，二重积分，还是三重积分，积分值都有有正有负，积分的正 负取决于被积函数的值的正负，跟积分区域的“正 负”没有关系，事实上，在数学中，积分区域没有正负这个概念，例如∫(a∽b)f(x)dx,当然要使积分值越大，肯定是让f(x)沿着它为正直的方向积得越远越好，这样的话，积分值就越来越大，如果在a到b的闭区间上，f（x）既有正也有负，那么肯定是舍弃负的那部分积分，因为负的积分值会抵消正积分值，所以本题中，被积函数f（x，y）的取值范围是(－∝，1]，所以我们要取它≥0的部分，即要求2x²＋y²≤1，发现没，这刚好是椭圆2x²+y²=1以及椭圆围成的区域。此时积分值最大，要明白一个道理，为什么恰恰就是这个区域呢，因为你可以小，没关系，但积分值不是最大，但你可以比这个区域大，哪怕大一点点，f(x,y)的值就由正变为负，积分值就要开始走“下坡路”了。