首先要知道三个公式的区别了格林公式研究的是把平面第二类曲线积分转化为二重积分来做,但是要注意正方向的选取,以及平面单连通和平面复连通,有时需要取辅助线构成封闭曲线的,但是要计算辅助曲线的曲线积分,因为此时的格林公式值是由两条曲线叠加后产生的,这个很重要,因为积分与路径无关都要涉及到平面复连通和单连通的计算……斯托克斯公式就是格林公式在空间内的推广,既然格林公式研究的是平面内的第二类曲线积分,那么斯托克斯公式研究的就是空间内的第二类曲线积分,要知道边界曲线正方向和曲面正方向成右手定则关系的……
简单谈一下在力学领域的应用吧（作为搞工程的，谈不了很深，而且可能比较片面）。主要拿高斯公式在流体力学和固体力学中的应用举例。由积分定义可知，一个函数积分的几何意义表示的是函数在定义区间内所围成的面积。但这与它的原函数有什么关系？把它分成4段，那么每一段中因变量的增量约等于对应函数与自变量增量的乘积，b和a点原函数值之差就约等于4段增量之和了。如果划分为无穷段呢，就是教材中牛莱公式了。而函数与自变量乘积就是微分，所谓的积分便是无穷微分之和。那么在一个区间的积分怎么就变成两个端点的原函数表达式呢？换句话说，中间的点哪去了？积分说到底只是加减法，比1+1+1+1=4，如果它是20-16=4的话，中间值怎么加其实是没关系的，你可以1+1+1.1+0.9，也可以0.7+1+1.1+1.2，还可以……就是只要端点值确定，中间段的和就确定。假如把积分区间lab划分成n个等份，那么由上面的推导可知无穷多高阶无穷小的和仍然是无穷小，这是因为当划分的份数变多后，单个变量的长度也会相应变小。很多人说这公式反应的是平面区域的二重积分与边界上曲线积分的关系，可是这答非所问好吗，就是只回答了是什么，而没有回答为什么。我们先对左边进行一次对坐标y的积分，注意这时用到的就是牛莱公式，所以就得到P函数在边界曲线上两个坐标点的函数值之差。
Green's Theorem， Gauss' Theorem等等都是同源的（general Stokes' Theorem），理解了其中一个，其他的也好理解了。由于其中最直观的是Gauss‘ Theorem，我就从Gauss Theorem来谈谈他们的意义吧。（这里主要是物理意义，但你们看起来可能像数学意义，其实学数学的人看这个问题的角度会更奇怪）首先，我们考虑一个问题的时候最主要的一点是要确定它的应用范围。我们讨论的空间必须是一个n维的要理解Gauss' Theorem，这里的概念其实并不需要搞太懂。但我要强调的是，你使用这些Theorem的时候，其实是默认了连续性假设： 我们的空间是连续的。某样定义在空间中的事物永远（即对于任意的封闭体积）满足Gauss' Theorem印证了空间连续性假设。我们在这些定理中讨论的是定义在上述空间中的一个compact supported n-form 。首先，我们先不要管这个词是什么意思，先说说在这里的物理意义。我们讨论的这个n-form可以理解为某种密度场。在Gauss' Theorem中，这个是n等于2的情况。这里的2-form就是流量密度场。这里的2代表的是为了标明该流量场，在空间中的每个点我们需要2重维度来描述该场。所谓的流量，我们必须声明某量是从哪个方向来，到哪个方向去。在3维坐标中，要把所有的情况说清需要3X3=9个量： x->x, x->y, x->z, y->x 等等。
