掌握最优化理论基石：凸性（一）
对于运筹学的探索者来说，一次深入的凸性理论梳理是不可或缺的。本文仅代表我个人的理解，诚挚期待专家们的指正与分享！
引言
让我们从Stephen Boyd的经典教材《凸优化》[1]出发，探索这个概念的奇妙世界。从直观的"球是凸"到数学定义的严谨，每个细节都值得深入剖析。
想象一下，一个集合是凸的，就像球面无瑕疵地包容着所有内部点，每一个点都能从任何角度看到其他点，这就是凸集的基本概念（图1）。数学定义上，它要求集合内的任意两点连线段都在集合内部或边界上，如超平面、半空间和多面体等常见实例。
仿射集合就像两点确定一条直线，区别于凸组合的"线段"性质，它允许所有点的组合线保持在同一平面内，但不局限于唯一的"线"（图2）。而凸组合则要求所有点的线段连接都在集合内。
凸包和仿射包揭示了集合最简化的"包围"形态。凸包是集合最小的凸集合，仿射包则是所有仿射组合的集合，两者都是集合组合的精华体现（图2和3）。
正定矩阵的全体构成了凸优化中的重要SDP问题，锥的特性在这里大放异彩。
这些概念在几何空间中清晰可见，内点和边界点的组合形成聚点。凸集的运算遵循特定规则，如交集的凸性，投影的几何意义和重要定理（图5）。
点分离和凸集分离定理展示了超平面如何区分和隔离非空闭凸集，这是优化理论中的基石（图6）。
凸函数的定义要求函数的上图像（epigraph）是凸集，这为我们理解函数的凸性提供了直观视角（图7）。从单调性到二阶条件，这些性质揭示了函数行为的深层规律。
共轭函数，作为线性函数与原函数差值的最大化，始终保持凸性，无论原函数是否凸（图9）。它的性质揭示了优化问题中隐含的对偶性。
通过以上的梳理，希望你对凸性理论有了更深入的认识。接下来的篇章，我们将继续深入探讨更多相关概念和应用，敬请期待！